Question

На рисунке равнобедренный треугольник ABC и равнобедренный треугольник ADC имеют общее основание. Докажите, что угол BAD = углу BCD (AC-общее основание)

Answer 1

Для доказательства равенства углов BAD и BCD воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.

1. Посмотрим на треугольник ABC. Он равнобедренный, значит, у него две равные стороны: AB = AC.

2. Посмотрим на треугольник ADC. Он также равнобедренный, поэтому у него тоже две равные стороны: AD = AC.

3. У треугольников ABC и ADC общая сторона AC.

Теперь рассмотрим отрезок BD, он является биссектрисой угла B в треугольнике ABC и биссектрисой угла C в треугольнике ADC.

4. По свойству биссектрисы, угол BAD равен половине суммы углов ABC и BAC.

5. Угол BCD также равен половине суммы углов ADC и ACD по свойству биссектрисы.

6. Запишем равенства углов появившиеся в пунктах 4 и 5:
угол BAD = (угол ABC + угол BAC)/2
угол BCD = (угол ADC + угол ACD)/2

7. Заметим, что углы ABC и ADC оба прямые (90 градусов), так как основание треугольников AD и BC перпендикулярны к основанию AC.

8. А углы BAC и ACD - это общие углы у двух треугольников.

9. Получаем, что:
угол BAD = (90 градусов + угол BAC)/2
угол BCD = (90 градусов + угол ACD)/2

10. Приведём к общему виду:
угол BAD = (90 градусов/2 + угол BAC/2)
угол BCD = (90 градусов/2 + угол ACD/2)

11. Заметим, что 90 градусов/2 = 45 градусов, поэтому:
угол BAD = 45 градусов + угол BAC/2
угол BCD = 45 градусов + угол ACD/2

12. Выносим за скобки 45 градусов:
угол BAD = 45 градусов + 45 градусов * BAC/90
угол BCD = 45 градусов + 45 градусов * ACD/90

13. Упрощаем выражения:
угол BAD = 45 градусов * (2 + BAC/90)
угол BCD = 45 градусов * (2 + ACD/90)

14. Отметим, что BAC и ACD являются смежными углами, так как они находятся по одну сторону от прямой AC.

15. Смежные углы дополняются друг другу до 180 градусов.

16. Поэтому BAC + ACD = 180 градусов.

17. Подставляем выражение из пункта 16 в выражения из пункта 14:
угол BAD = 45 градусов * (2 + (180 - BAC)/90)
угол BCD = 45 градусов * (2 + BAC/90)

18. Упрощаем выражения:
угол BAD = 45 градусов * (2 + 180/90 - BAC/90)
угол BCD = 45 градусов * (2 + BAC/90)

19. Упрощаем дроби:
угол BAD = 45 градусов * (2 + 2 - BAC/90)
угол BCD = 45 градусов * (2 + BAC/90)

20. Упрощаем выражения:
угол BAD = 45 градусов * (4 - BAC/90)
угол BCD = 45 градусов * (2 + BAC/90)

21. Рассмотрим разность углов:
угол BAD - угол BCD = 45 градусов * (4 - BAC/90) - (45 градусов * (2 + BAC/90))
= 45 градусов * (4 - 2 - BAC/90 - BAC/90)
= 45 градусов * (2 - 2BAC/90)

22. Упрощаем выражение:
угол BAD - угол BCD = 45 градусов * (2 - 2BAC/90)
= 45 градусов * (2 - 2BAC/45)

23. Ещё раз упрощаем:
угол BAD - угол BCD = 45 градусов * (2 - 2BAC/45)
= 45 градусов * (2 - 2BAC/45)
= 2 * 45 градусов - 2 * (45 градусов * BAC/45)
= 90 градусов - 2BAC градусов

24. Упрощаем дробь:
угол BAD - угол BCD = 90 градусов - 2BAC градусов

25. Заметим, что полученное выражение равно углу ACB, так как углы ACB и BAC являются смежными углами (угол ACB находится между BAC и AC).

26. Значит, угол BAD - угол BCD = угол ACB

Итак, мы доказали, что разность углов BAD и BCD равна углу ACB, что означает, что углы BAD и BCD также равны.