Задание 1 ( ). Две стороны треугольника равны 12 см и 6 см, а косинус угла между ними равен 1.png.
Найдите площадь этого треугольника.
Задание 2 ( ).
В треугольнике ABC проведена высота BD, равная 12 см. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ABD = 30°, ∠BCD = 45°.
Задание 3 ( ).
Три окружности попарно касаются друг друга. Радиусы окружностей равны 3 см, 8 см, 22 см. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.
Задание 4 ( ).
Площадь треугольника ABC равна 48 см2. На стороне AC отметили точку N так, что AN : NC = 1 : 5. Найдите площадь треугольника NBC.
Задание 5.
В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 12 см. BM – медиана, равная 8 см. Найдите:
а) радиус вписанной окружности ( );
б) радиус описанной окружности ( ).
НАЙТИ: S пол. пов. пирамиды
______________________________
РЕШЕНИЕ:
1) Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, то есть ∆ АВС – равносторонний
В ∆ АВС опустим высоту АН на ВС
В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой → ВН = СН
отрезок SD ( высота пирамиды ) перпендикулярен плоскости основания ∆ АВС
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости →
SD перпендикулярен АН
АН перпендикулярен ВС
Значит, SH перпендикулярен ВС по теореме о трёх перпендикулярах
Из этого следует, что угол SHА – линейный угол двугранного угла АВСS, то есть угол SHА = 45°
2) Рассмотрим ∆ SHD (угол SDH = 90°):
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90°
угол HSD = 90° - 45° = 45°
Значит, ∆ SHD – прямоугольный и равнобедренный , SD = DH = h
По теореме Пифагора:
SH² = SD² + DH²
SH² = h² + h² = 2h²
SH = h√2
Как было сказано выше, высота, проведённая в равностороннем треугольнике, является и медианой, и биссектрисой
Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины
Следовательно, AD : DH = 2 : 1 →
AD = 2 × DH = 2h
AH = AD + DH = 2h + h = 3h
Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
где а - сторона равностороннего треугольника, h - высота
BC = ( 2√3 × AH ) / 3 = ( 2√3 × 3h ) / 3 = 2√3h
S пол. пов. пирамиды = S осн. + S бок. пов.
В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны друг другу →
S пол. пов. пирамиды = S abc + 3 × S bcs
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
где а - сторона равностороннего треугольника
S пол. пов. пирамиды =
ОТВЕТ: 3√3h² × ( 1 + √2 )