Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, ВС=8 см, АД=12 см, ВН - высота, ВН=6 см, СК=КД. Найти ВК и АК.
Решение: рассмотрим треугольник АВН - прямоугольный.
АН=(АД-ВС):2=2 см
АВ=СД=√(36+4)=√40=2√10 см.; СК=КД=2√10\2=√10 см.
cosA=АН\АВ=2\2√10=√10\10; cosД=√10\10
Рассмотрим треугольник АКД и найдем АК по теореме косинусов:
АК²=АД²+КД²-2*АД*КД*√10\10=144+10-2*12√10*√10\10=130; АК=√130=11,4 см.
Рассмотрим треугольник ВКС и найдем ВК по теореме косинусов:
ВК²=ВС²+СК²-2*ВС*СК*(cos180-α)=64+10-2*8*√10*(-√10\10)=74+16=90;
ВК=√90=9,48 см.
ответ: 11,4 см, 9,48 см.
В равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основу, является и биссектрисой, и медианой. Высота делит прямоугольный треугольник на ещё 2 равных прямоугольных треугольника. В этих малых треугольниках катетами являюся половина гипотенузы и высота. А катет большого треугольника — гипотенузой малого. Значит все также по теореме Пифагора: а^2=h^2+(c/2)^2. h = √a^2-(c/2)^2=√64-32=√32=4√2 см.