Обозначим конус АВС, АВ=ВС - образующие, О - центр основания, ВО - высота конуса.
Развертка полной поверхности конуса - круг и сектор круга, радиус R которого равен образующей конуса. Построить основание конуса с r=22,5мм -не составит труда.
Длина окружности, ограничивающей основание конуса, l=2πr=45π (мм). Она определяет длину дуги сектора круга радиуса R.
Разберемся с боковой поверхностью.
Из прямоугольного ∆ АВО по т.Пифагора вычислим радиус R сектора, в который развернется боковая поверхность конуса:
R=√(BO²+CO*²)=√4106,25)=64,08 (mm)
Длина окружности с центром В ( центром круга станет вершина конуса) равна: 2π64,08=128,16π (мм)
В полной окружности 360°, на каждый градус приходится:
128,16 π:360°=0,356π (мм)
Тогда боковая поверхность конуса развертывается в сектор круга, длина дуги которого равна длине окружности основания конуса, а угол при В равен:
45π:0,356π=126,4°
В большей окружности проводим радиус, от него с транспортира отложим угол 126,4°. Сектор АВА' - развертка боковой поверхности конуса.
На рисунке в приложении– развертка полной поверхности данного конуса.
cos(γ)=0,925, γ≈22°.
Объяснение:
Пусть АВ=2 см, AC=4 см и BC=5 см. Пусть α, β, γ - углы соответственно при вершинах A, B, C треугольника. Для нахождения косинусов углов используем теорему косинусов:
1. BC²=AB²+AC²-2*AB*AC*cos(α), откуда следует уравнение 25=4+16-2*2*4*cos(α), или 25=20-16*cos(α). Отсюда 16*cos(α)=-5 и cos(α)=-5/16. Тогда α=arccos(-5/16)≈108°.
2. AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos(β), откуда следует уравнение 16=4+25-2*2*5*cos(β), или 16=29-20*cos(β). Отсюда 20*cos(β)=13 и cos(β)=13/20. Тогда β=arccos(13/20)≈49°.
3. AB²=AC²+BC²-2*AC*BC*cos(γ), откуда следует уравнение 4=16+25-2*4*5*cos(γ), или 4=41-40*cos(γ). Отсюда 40*cos(γ)=37 и cos(γ)=37/40. Тогда γ=arccos(37/40)≈22°
Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна 180°. В нашем случае α+β+γ≈108°+49°+22°=179°≈180°, так что углы найдены верно.
Таким образом, наименьшим углом является γ. Его косинус равен 37/40=0,925, а его градусная величина - ≈22°.