1) CN=CD/2=BC => △BCN - равнобедренный, углы при основании равны, ∠CBN=∠CNB
∠ABN=∠CNB (накрест лежащие при AB||CD)
∠ABN=∠CBN, BN - биссектриса ∠ABC (делит угол на два равных)
2) Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания. Обозначим площади ABK=8x, AKM=MKC=5x, ACK=10x. Площади треугольников с равным основанием относятся как их высоты. Высоты треугольников ABK и ACK относятся как 8:10. Следовательно площади BKP и CKP относятся как 8:10. Обозначим площади BKP=8y, BKC=18y. Площади BKC и MKC относятся как 8:5.
S(BKC)/S(MKC) =18y/5x =8/5
S(BKP)/S(AKM) =8y/5x =8/5 * 4/9 =32/45
Или по теореме Менелая:
CP/PB *BK/KM *MA/AC =1 <=> CP/PB *8/5 *1/2 =1 <=> CP/PB=10/8
CM/MA *AK/KP *PB/BC =1 <=> AK/KP *8/18 =1 <=> AK/KP=18/8
Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
S(BKP)/S(AKM) =BK*KP/AK*KM =8/5 *8/18 =32/45
Чертеж к решению - во вложении.
Известно, что биссектрисы двух непротивоположных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом и отсекают равнобедренные треугольники. Таким, образом, треугольники АВК и МСД равнобедренные, а треугольник КРМ - прямоугольный.
Все равные углы (накрест лежащие и вертикальные), а также равные отрезки отмечены на чертеже.
Ведем обозначения: ВК=КМ=МС=х, КР=у, МР=z.
Периметр параллелограмма P=2(АВ+ВС)=8х.
Треугольники РАД и РКМ подобны по двум углам. Поэтому
1) 
3y=8+y
y=4,
2) 
z+6=3z
z=3,
По теореме Пифагора в треугольнике КРМ
ответ: 
1) и 2) ответы на теоретические вопросы даются в учебниках.
3. Даны вершины тетраэдра: A(2; -1; 3), B(1; -3; 5), C(6; 2; 5), D(3; -2; - 5). Определить длину высоты от вершины D до плоскости ABC.
Находим нормальный вектор плоскости АВС.
Находим векторы АB и АC.
Вектор АВ = (1-2; -3-(-1); 5-3) = (-1; -2; 2).
Вектор АC = (6-2; 2-(-1); 5-3) = (4; 3; 2).
Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC с применением схемы Саррюса.
i j k| i j
-1 -2 2| -1 -2
4 3 2| 4 3 = -4i + 8j - 3k + 2j - 6i + 8k =
= -10i + 10j + 5k.
Нормальный вектор плоскости АBC равен (-10; 10; 5).
Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
S = (1/2)√((-10)² + 10² + 5²) = (1*2)√(100 + 100 + 25) = (1/2)√225= (15/2) кв. ед.
Далее находим объём пирамиды ABCD.
Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.
Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-10; 10; 5).
Находим вектор AD, точки A(2; -1; 3), D(3; -2; - 5).
AD = (3-2; -2-(-1); -5-3) = (1; -1; -8),
(ABxAC) = -10 10 5
AD = 1 -1 -8
-10 - 10 - 4 = -60.
V = (1/6)*|-60| = 10.
Длину высоты Н из точки D на плоскость АВС находим по формуле:
H = 3V/S = (3*10/(15/2) = 60/15 = 4.