1. ABC — равносторонний треугольник, точки M, N и K — серединные точки сторон. Площадь треугольника MNK равна 6 кв. ед. изм. Определи площадь четырёхугольника MNCB: кв. ед. изм.
2. Площадь комнаты равна 6 м2. Можно ли разместить в комнате ковры 1 м2; 2 м2 и 4 м2, чтобы ковры не перекрывались?
Решение: Так как по условию треугольник ΔABC - равносторонний, то все его стороны равны, то есть AB = BC = AC, следовательно
CM = MA = AK = BK = BN = CN. По свойствам равностороннего треугольника (ΔABC) все его углы равны 60°, тогда ∠ACB = ∠CAB =
= ∠CBA = 60°. Треугольник ΔMAK = ΔBKN по первому признаку равенства треугольников, так как MA = KA = KB = BN и ∠CAB = ∠CBA = 60°. Так как по условию M,N - середины сторон CA,CB, то отрезок MN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть MN║AB. Так как по условию K,N - середины сторон AB,CB, то отрезок KN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть KN║AC. По теореме AMNK - параллелограмм, так как MN║AB и KN║AC, следовательно по свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны, тогда MN = AK, MA = KN. Треугольник ΔMAK = ΔMKN по третьему признаку равенства треугольников, так как MK - общая, а MN = KA, AM = KN - как противоположные стороны параллелограмма AMNK. Так как треугольник ΔMAK = ΔMKN и треугольник ΔMAK = ΔBKN, то
ΔMAK = ΔMKN = ΔBKN. Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы равны, то есть так как , то
квадратных единиц.
квадратных единиц.
2.
Если в комнате можно разместить все ковры, то сумма площадей ковров должна быть меньше или равна площади комнаты.
15 м² ∨ 4 м² + 5 м² + 7 м²
15 м² ∨ 16 м²
15 м² < 16 м²
Так как площадь, ковров больше площади комнаты, то ковры перекроются.
Площадь треугольника АВД равна сумме площадей треугольников АМД и АВМ и равна 6+3=9.Высота треугольника АВД равна высоте трапеции АВСД.Введём обозначения: h - высота треугольника АМД, H - высота треугольника АВД, a - нижнее основание трапеции, в - верхнее основание.Отношение высот определим из их площадей:(1/2)a*h = 6,(1/2)a*H = 9.Отсюда h/Н = 6/9 = 2/3.Теперь рассмотрим треугольник ВМС. Он подобен треугольнику АМД. Высота его равна Н - h, а площадь пропорциональна квадрату сходственных сторон.Произведение a*h = 6*2 = 12, a*H = 9*2 = 18.Если принять целочисленные значения этих величин, то такое соотношение возможно при значениях а = 3, h = 4, Н = 6.Тогда Н - h = 6 - 4 = 2.Площадь треугольника ВМС равна: (1/2)в*(Н - h) = (1/2)в*2 = в.Отношение площадей треугольников ВМС и АМД равно (Н – h)²/h² = 2²/ 4² = 4/16 = 1/4.То есть S(ВМC) = (1/4)*S(АМД), (1/2)в*(Н - h) = (1/4)*6. (1/2)в*2 = 6/4, в = 6/4 = 3/2. Перенесём сторону ВС к нижнему основанию в точку Д. Получим треугольник АВД₁, равновеликий по площади трапеции АВСД. S(АВСД) = S(АВД₁) = (1/2)*H*(a+в) = (1/2)*6*(3+(3/2)) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
Рассмотрим треугольник НСА-прямоугольный,т.к. СН- высота. По теореме Пифагора найдем сторону АН. AH^2=AC^2-CH^2=320-64=256; AH=16. В прямоугольном треугольнике катет противолежащий углу в данном случае:противолежащий катет это сторона АН и угол НСА равен произведению второго катета,т.е. СН на tg угла НСА. АН=НС*tg угла НСА 16=8 tg угла НСА tg угла НСА=2 Рассмотрим треугольник СНВ. Из этого треугольника,если его так можно назвать, потому что угол АВС-тупой, угол ВНС=90,а это уже больше 180 град,а сумма углов треугольника равно 180 град нельзя найти tg угла ВСН. Поэтому узнать tg угла АСВ найти невозможно.
Объяснение:
1.
Примечание:
Рисунок отличается от рисунка в условии. Следует понимать, что .
Дано: ΔABC - равносторонний, CM = MA,AK = BK, BN = CN,
Найти: - ?
Решение: Так как по условию треугольник ΔABC - равносторонний, то все его стороны равны, то есть AB = BC = AC, следовательно
CM = MA = AK = BK = BN = CN. По свойствам равностороннего треугольника (ΔABC) все его углы равны 60°, тогда ∠ACB = ∠CAB =
= ∠CBA = 60°. Треугольник ΔMAK = ΔBKN по первому признаку равенства треугольников, так как MA = KA = KB = BN и ∠CAB = ∠CBA = 60°. Так как по условию M,N - середины сторон CA,CB, то отрезок MN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть MN║AB. Так как по условию K,N - середины сторон AB,CB, то отрезок KN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть KN║AC. По теореме AMNK - параллелограмм, так как MN║AB и KN║AC, следовательно по свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны, тогда MN = AK, MA = KN. Треугольник ΔMAK = ΔMKN по третьему признаку равенства треугольников, так как MK - общая, а MN = KA, AM = KN - как противоположные стороны параллелограмма AMNK. Так как треугольник ΔMAK = ΔMKN и треугольник ΔMAK = ΔBKN, то
ΔMAK = ΔMKN = ΔBKN. Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы равны, то есть так как , то
квадратных единиц.
квадратных единиц.
2.
Если в комнате можно разместить все ковры, то сумма площадей ковров должна быть меньше или равна площади комнаты.
15 м² ∨ 4 м² + 5 м² + 7 м²
15 м² ∨ 16 м²
15 м² < 16 м²
Так как площадь, ковров больше площади комнаты, то ковры перекроются.