Угол АВС равен 40°.
Объяснение:
Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Точка P на стороне BC такова, что угол APC = 60°. Высота PQ и биссектриса AR треугольника APB пересекаются в точке S. Оказалось, что PS = SR. Чему равен угол ABC?
Дано: ΔАВС - равнобедренный;
Р ∈ ВС, ∠APC = 60°;
PQ - высота, AR - биссектриса ΔАРВ;
PQ ∩ AR = S;
PS = SR.
Найти: ∠АВС.
Пусть ∠BAR = ∠RAP = α (AR - биссектриса ΔАРВ)
1. Рассмотрим ΔARP.
∠APC = 60° - внешний.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.⇒ ∠ARP = 60° - α
2. Рассмотрим ΔABP.
∠APC = 60° - внешний.
⇒ ∠ABC = 60° - 2α (1)
3. Рассмотрим ΔSRP.
PS = SR (условие)
⇒ SRP - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.⇒ ∠SPR = ∠ARP = 60° - α
4. Рассмотрим ΔQBP.
PQ - высота ΔАРВ.
⇒ ΔQBP - прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠АВС = 90° - ∠SPR = 90° - 60° + α = 30° + α (2)
5. Приравняем выражения (1) и (2) и найдем α:
60° - 2α = 30° + α
3α = 30°
α = 10°
⇒ ∠АВС = 30° + α = 30° + 10° = 40°.
Угол АВС равен 40°.
ΔАВС - равнобедренный , АВ=ВС , BD ⊥AC ,
ВО ⊥ плоскости α ⇒ ВО перпендикулярна любой прямой в плоскости α . Проведём прямую DО , тогда DО ⊥ BO и ΔВOD - прямоугольный , ∠BOD=90° . Тогда BD - наклонная , а DO - проекция наклонной BD на плоскость α .
BD ⊥ AC , так как BD - высота равнобедренного треугольника АВС .
По теореме о трёх перпендикулярах : если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции .
Точка D - основание BD . Наклонная BD перпендикулярна прямой АС, тогда и её проекция DO перпендикулярна прямой AC.
Получили, что АС ⊥ BD и АС ⊥ DO . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая АС будет перпендикулярна плоскости, в которой лежат прямые BD и DO , то есть плоскости BDO . Что и требовалось доказать .