Question

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=4, DK=12, BC=21. Найдите AD.

Answer 1

Для решения задачи, нам понадобится использовать свойства вписанных четырёхугольников и теоремы о перпендикулярных хордах.

Первым шагом решения будет использование теоремы о перпендикулярных хордах: если из одной точки внутри окружности провести две хорды, перпендикулярные друг другу, то их произведение будет одинаково. В данной задаче хорды BK и DK перпендикулярны, следовательно, их произведение будет равно произведению других перпендикулярных хорд.

Теперь найдем длину сегмента BK, AB и AD. При этом обратим внимание на то, что сегмент AD является дополнением к AB и обратно на основании теоремы об дополнительных углах.

По теореме о перпендикулярных хордах: BK * DK = CK * AK
Подставляем известные значения: 4 * 12 = 21 * AK
Решаем уравнение: 48 = 21 * AK
Делим обе части равенства на 21: AK = 48/21 = 2.2857

Теперь находим сумму BK и CK, чтобы найти длину сегмента AB: BK + CK = BC = 21
Подставляем известное значение BK: 4 + CK = 21
Вычитаем 4 из обеих частей равенства: CK = 21 - 4 = 17

Теперь находим сумму AK и CK, чтобы найти длину сегмента AD: AK + CK = AD
Подставляем известные значения: 2.2857 + 17 = AD
Складываем числа: AD = 19.2857

Итак, мы нашли длину сегмента AD: AD = 19.2857.