Question

4. На стороне BC квадрата ABCD отмечена точка М так, что DAM = 60". Найдите MD и расстояния от точек Ви D до прямой AM, если AB = V3.

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства треугольников и теорему косинусов.

Приступим к решению:

1. Найдем длину стороны квадрата ABCD.

У нас дано, что AB = √3, значит, все стороны квадрата равны √3.

2. Найдем длину стороны треугольника DAM.

Мы знаем, что треугольник DAM - это треугольник со сторонами DM, AM и AD. Так как угол DAM = 60°, то у нас есть прямоугольный треугольник DAM.

Зная, что угол DAM = 60°, мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину стороны AD:

sin(DAM) = AD/DM
sin(60°) = AD/DM
√3/2 = AD/DM

Так как сторона AD равна стороне квадрата, то AD = √3.

Теперь мы можем выразить DM через AD:

√3/2 = √3/DM

Получаем уравнение:

2 = DM

Таким образом, DM = 2.

3. Найдем расстояния от точек B и D до прямой AM.

Для этого нам понадобится использовать формулу для расстояния от точки до прямой:

d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)

У нас есть точки B(0,0) и D(√3, 0). Также у нас есть уравнение прямой AM, которую мы можем записать в виде уравнения прямой:

y = (√3/2)x - √3

Теперь нам нужно найти расстояния d1 и d2 от точек B и D до прямой AM.

Для точки B:
d1 = |0 + 0 + (-√3)| / √(√3^2 + (1/2)^2)
= |√3| / √(3 + 1/4)
= |√3| / √(3 + 1/4)
= √3 / √((12 + 1)/4)
= √3 / √(13/4)
= √3 / √13 × 2/2
= 2√3 / √13
= (2√3/√13) × (√13/√13)
= 2√39 / 13

Таким образом, d1 = 2√39 / 13.

Для точки D:
d2 = |√3 + 0 - √3| / √(√3^2 + (1/2)^2)
= |0| / √(3 + 1/4)
= 0 / √((12 + 1)/4)
= 0 / √(13/4)
= 0

Таким образом, d2 = 0.

Итак, мы получили, что MD = 2 и расстояния от точек B и D до прямой AM равны d1 = 2√39 / 13 и d2 = 0 соответственно.