Делается дополнительное построение, как на чертеже. ∠CFD = ∠ADF = ∠CDF (DE - биссектриса ∠ADC); поэтому ΔCFD - равнобедренный, CF = CD; Далее, поскольку CF II AD и AE = BE; то DE = FE (миллион объяснений, от теоремы Фалеса до равенства треугольников EBF и AED) Поэтому в равнобедренном ΔCFD CE - медиана к основанию. То есть CE перпендикулярно DE, В прямоугольном ΔCED EM - медиана к гипотенузе, то есть EM = CD/2 = 39/2; Но EM - средняя линия трапеции ABCD; EM = (BC + AD)/2; (Уже после опубликования решения автор мне заметила, что ΔEMD равнобедренный по той же самой причине, что и ΔFCD, поскольку средняя линия EM II AD, поэтому сразу можно было бы написать EM = MD = CD/2) Отсюда AD = CD - BC = 27; Теперь надо провести CK II AB; в ΔCKD CD = 39; CK = AB = 36; KD = AD - BC = 15; то есть получился Пифагоров треугольник (15^2 + 36^2 = 39^2) Это означает просто, что трапеция ABCD - прямоугольная, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Отсюда площадь трапеции EM*AB = 36*39/2 = 702
Т.к. угол при основании равен 60°, то проводя высоту и получая прямоугольный треугольник, второй угол равен 30°. Тогда часть большего основания, лежащего напротив этого угла, равна 12/2 = 6, т.е. её половине. Аналогично и с другой стороной трапеции (т.к. она равнобедренная, то будет то же самое). Теперь по теореме Пифагора найдём высоту: h = √(12²-6²) = √(144-36) = √108 = 6√3. Теперь найдём всю длину большего основания: Две части мы нашли (они равны по 6 см), а третья часть равна меньшему основанию, т.к. высоты образуют прямоугольник, а в прямоугольнике противоположные стороны равны. Тогда большее основание равно 6 + 6 + 24 = 36. Теперь находим площадь по формуле S = 1/2(a+b)•h S = 1/2(24+36)•6√3 = 30•6√3 = 180√3.
∠CFD = ∠ADF = ∠CDF (DE - биссектриса ∠ADC); поэтому ΔCFD - равнобедренный, CF = CD;
Далее, поскольку CF II AD и AE = BE; то DE = FE (миллион объяснений, от теоремы Фалеса до равенства треугольников EBF и AED)
Поэтому в равнобедренном ΔCFD CE - медиана к основанию.
То есть CE перпендикулярно DE,
В прямоугольном ΔCED EM - медиана к гипотенузе, то есть EM = CD/2 = 39/2;
Но EM - средняя линия трапеции ABCD; EM = (BC + AD)/2;
(Уже после опубликования решения автор мне заметила, что ΔEMD равнобедренный по той же самой причине, что и ΔFCD, поскольку средняя линия EM II AD, поэтому сразу можно было бы написать EM = MD = CD/2)
Отсюда AD = CD - BC = 27;
Теперь надо провести CK II AB; в ΔCKD CD = 39; CK = AB = 36; KD = AD - BC = 15; то есть получился Пифагоров треугольник (15^2 + 36^2 = 39^2)
Это означает просто, что трапеция ABCD - прямоугольная, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции.
Отсюда площадь трапеции EM*AB = 36*39/2 = 702