Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .
Рис. 1
Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.
Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.
Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?
Оказывается, такие прямые существуют.
Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).
Рис. 2
То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.
.
2. Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углы
Рассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и bрассекаются прямой с (Рис. 3).
Рис. 3
с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.
Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
Эти углыназываются:
- накрест лежащие углы: , ;
- односторонние углы: , ;
- соответственные углы: , , , .
– смежные углы.
– вертикальные углы.
3. Признаки параллельности прямыx
Сформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Итак, даны две прямые а и b. Прямая АВ рассекает эти прямые и (Рис. 4).
Рис. 4
Докажем, что .
Доказательство:
Рис. 5
Возьмем середину отрезка АВ – точку О – и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку , причем .
Имеем два треугольника и . Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними): (по условию), (по построению), ОА = ОВ (по построению).
Из равенства треугольников следует, что . А значит – это продолжение ОН, то есть точки О, Н и лежат на одной прямой.
Также . Значит, прямая Н перпендикулярна к прямой b.
Итак, мы имеем, что , . А значит, , что и требовалось доказать.
Второй признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,.
Рис. 6
Доказательство:
Значит, .
Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
Третий признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая, (Рис. 7).
Рис. 7
Доказательство:
Значит, .
Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
4. Решение задач
Признаки параллельности прямых используются для решения разных задач.
Рассмотрим пример:
а, b, с – прямые; с – секущая,, (Рис. 8)
Рис. 8
Сведем к одному из признаков параллельности прямых.
Следовательно,. По третьему признаку параллельности прямых.
На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.
Список рекомендованной литературы
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.
Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми, диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой. Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1. Возьмем точку К - середину отрезка СС1, АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1). По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК. Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с треугольника АОС1.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .
Рис. 1
Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.
Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.
Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?
Оказывается, такие прямые существуют.
Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).
Рис. 2
То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.
.
2. Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углыРассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и bрассекаются прямой с (Рис. 3).
Рис. 3
с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.
Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
Эти углыназываются:
- накрест лежащие углы: , ;
- односторонние углы: , ;
- соответственные углы: , , , .
– смежные углы.
– вертикальные углы.
3. Признаки параллельности прямыxСформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Итак, даны две прямые а и b. Прямая АВ рассекает эти прямые и (Рис. 4).
Рис. 4
Докажем, что .
Доказательство:
Рис. 5
Возьмем середину отрезка АВ – точку О – и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку , причем .
Имеем два треугольника и . Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними): (по условию), (по построению), ОА = ОВ (по построению).
Из равенства треугольников следует, что . А значит – это продолжение ОН, то есть точки О, Н и лежат на одной прямой.
Также . Значит, прямая Н перпендикулярна к прямой b.
Итак, мы имеем, что , . А значит, , что и требовалось доказать.
Второй признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,.
Рис. 6
Доказательство:
Значит, .
Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
Третий признак параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая, (Рис. 7).
Рис. 7
Доказательство:
Значит, .
Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
4. Решение задачПризнаки параллельности прямых используются для решения разных задач.
Рассмотрим пример:
а, b, с – прямые; с – секущая,, (Рис. 8)
Рис. 8
Сведем к одному из признаков параллельности прямых.
Следовательно,. По третьему признаку параллельности прямых.
На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.
Список рекомендованной литературы
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.