MNPQ - параллелограмм. Smnpq = 0,5*Sabcd. (это известно и доказывать не надо?) MN - средняя линия треугольника АВС и равна 0,5*АС. NP - средняя линия тр-ка ВСD и равна 0,5*BD. Но АС=ВD=2√5(дано). То есть MNPQ - ромб со сторонами, равными √5. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Сумма диагоналей этого ромба равна 6 (дано). Значит их полусумма равна 3. Пусть половины диагоналей равны d1 и D1. По Пифагору в любом из прямоугольных треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной ромба имеем: (√5)²=d1²+D1² или 5=(3-D1)²+D1². Имеем квадратное уравнение: D1²-3*D1+2=0, имеющее два корня: D1=2 и D1=1. То есть диагонали ромба MNPQ равны 4 и 2. Но тогда площадь этого ромба равна половине произведения диагоналей: Smnpq = (1/2)*D*d = 4. Отсюда искомая площадь Sabcd = 2*Smnpq = 8. ответ: Sabcd = 8.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники. Плоскость acc1 - это плоскость грани aa1c1c. Чтобы найти угол между прямой ab1 и плоскостью aa1c1c, надо из точки b1 опустить перпендикуляр b1h1 на эту плоскость (заметим, что этот перпендикуляр - высота равностороннего треугольника - основания призмы). Угол b1ah1 и будет искомым углом, который равен 45 градусам (дано). Тогда в прямоугольном треугольнике ah1b1 катеты равны (<b1ah1=45°),то есть ah1=h1b1. Но h1b1 - высота равностороннего треугольника (основания призмы) со стороной а. По формуле эта высота равна (√3/2)*а. Тогда из прямоугольного треугольника аh1h по Пифагору найдем hh1 (заметим, что это высота призмы): hh1=√(ah1²-ah²) = √(3a²/4-a²/4) = a*√2/2 ( ah=0,5ac - половине стороны основания). рассмотрим прямоугольный треугольник ob1b2. ob1 - радиус шара, оb2 = (2/3)*h1b1 (так как высота в равностороннем треугольнике делится центром описанной окружности в отношении 2:1, считая от вершины), а b1b2 - половина высоты призмы. Подставим имеющиеся значения в формулу Пифагора: ob1²=ob2²+b1b2² и получим: 11= [(2/3)*(√3/2)*а]² + (a*√2/4)² или 11=(11/24)*а², откуда а=2*√6. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Площадь основания (равностороннего треугольника) равна а²√ 3/4, высота равна a*√2/2. Итак, V = (а²√ 3/4)*(a*√2/2) = a³√6/8. Подставляем значение а=2√6 и получаем: V=[(2√6)*(2√6)*(2√6)]*(√6/8) = 36. ответ: Объем призмы равен 36.
ответ: Sabcd = 8.