Обозначим равные катеты прямоугольного треугольника - а.
АК и ВМ - медианы. Медианы, проведенные к равным сторонам, равны. АК = ВМ.
Из прямоугольного треугольника САК по теореме Пифагора найдем медиану АК:
АК = √(АС² + СК²) = √(а² + (a/2)²) = √(a² + a²/4) = √(5a²/4) = a√5/2
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда
OK = ОМ = 1/3 AK = a√5/6
AO = ВО = 2·OK = a√5/3
Из треугольника ОКВ по теореме косинусов:
KB² = KO² + OB² - 2·KO·OB·cosα
a²/4 = (a√5/6)² + (a√5/3)² - 2 · a√5/6 · a√5/3 · cosα
a²/4 = 5a²/36 + 5a²/9 - 2 · 5a²/18 · cosα
1/4 = 5/36 + 5/9 - 5/9 · cosα
cosα = (25/36 - 1/4) : (5/9) = 16/36 · 9/5 = 4/9 · 9/5 = 4/5 = 0,8
По таблице Брадиса находим, что
α ≈ 37°
S = (a²√3)/4, отсюда а = √(4S/√3).
Подставим значение S = 9:
тогда а = √((4*9)/√3) = 6/(3^(1/4)) = 2*3^(3/4).
Теперь переходим к рассмотрению пирамиды bacc1a1.
Основанием у неё является прямоугольник АСС1А1.
Площадь его равна So = AC*CC1 = 2*3^(3/4)*4 = 8*3^(3/4).
Боковая грань АВС пирамиды перпендикулярна основанию, поэтому высота пирамиды - это высота Н грани АВС:
H = a*cos 30° = 2*3^(3/4)*(√3/2) = 3^(5/4).
Искомый объём пирамиды равен:
V = (1/3)*So*H =3^(-1)*8*3^(3/4)*3^(5/4) = 8*3 = 24 куб.ед.