Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠ B1, ∠ C ≠ ∠ C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.
Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Данные треугольники имеют две пары равных углов ∡1 и ∡2, ∡3 и ∡4, каждый из которых прилежит к общей стороне АС треугольников. Значит, данные треугольники равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла).
№2У данных треугольников две пары равных сторон DC=AD и АВ=ВС. Также треугольники имеют общую сторону ВD, из чего делаем вывод: треугольники равны по третьему признаку (три стороны).
№3Указанные треугольники имеют равные стороны ОD=ОС и АО=ВО. Также имеем пару вертикальных углов ∡DOА и ∡ВОС. Они равны по своему свойству. Значит, треугольники равны по первому признаку (две стороны и угол между ними).
№4Из условия мы знаем, что АВ=АС (...отложены равные отрезки...) и ∡ВАD=∡CFD (биссектриса). Также АD - общая сторона. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.