В прямоугольном треугольнике ABC точка О- середина медианы CH, проведенной к гипотенузе AB, AC=6 см, BC=8 см. Найдите площадь треугольника OBC.
----------Для решения задачи нужно вспомнить, что медиана делит треугольник на два равновеликих ( т.е. на два треугольника с равной площадью). В прямоугольном треугольнике медиана СН разделила его на два треугольника. Высота треугольника СВН и САН одна и та же - СМ, а основания равны. Следовательно, площадь каждого из этих треугольников равна половине площади треугольника АСВ. S ACB=АС*ВС:2=24 см² Точно так же медиана ВО треугольника ВСН делит его на два равновеликих треугольника с общей высотой Сh, и площадь каждого равна половине площади треугольника ВСН и, соответственно, одной четверти площади треугольника АВС. Площадь треугольника ОВС равна 24:4=6 см²
У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы также равны. Если мы докажем, что равны его две стороны, выходящие из одной вершины, то толучим параллелограмм с равными сторонами, а это и есть ромб. Рассмотрим треугольники АНВ и ВЕС. Они прямоугольные, поскольку ВН и ВЕ высоты. ВН = ВЕ по условию, Угол А = С как противоположные углы параллелограмма, следовательно, Угол АВН = СВЕ. Прямоуг. треуг. АНВ = СЕВ по катету и прилегающему к нему острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство сторон АВ = ВС. Отсюда следует, что АВ = ВС = СД = АД. А, как было сказано вначале, параллелограмм с ровными сторонами - это ромб.
△ABC - равнобедренный (AB=AC)
∠B=∠С (углы при основании равнобедренного треугольника)
∠ABE=∠B/2, ∠ACD=∠С/2 (BE, CD - биссектрисы) => ∠ABE=∠ACD
△ABE=△ACD (по стороне и прилежащим к ней углам, ∠A - общий)
BE=CD