Смешное решение, если не понравится - можете банить.
Ясно, что отрезки по обеим боковым сторонам равны.
Если длина этих отрезков 0, то периметр совпадает с периметром треугольника и равен 48. Если длина отрезков 18, то периметр трапеции будет равен 2 основаниям, то есть 24 (это такая совсем "вырожденная" трапеция с боковыми сторонами, равными 0).
Если обозначить длину отрезков за x, а периметр трапеции y, то все строны трапеции зависят от x линейно - боковые стороны равны 18 - x, малое основание просто пропорционально x (я намеренно не считаю, как именно пропорционально), поэтому графиком зависимости y(x) будет прямая линия, проходящая через точки (0,48) и (18,24);
уравнение такой прямой записать просто -
(y - 48)/(x - 0) = (24 - 48)/(18 - 0);
y = - x*4/3 + 48;
или, что - то же самое, x = 3/4*(48 - y);
При y = 40; x = 6; :
Вся соль - в прямой линии. :)
Диагональ, скорее всего, ВЕ, так как DE - сторона.
Для наглядности я проведу ВСЕ диагонали пятиугольника. Получилась звезда. Из правильности пятиугольника сразу следует, что все стороны этой звезды равны между собой (при повороте пятиугольника на угол 360/5, 2*360/5 и так далее звезда совпадает сама с собой, поэтому и равны все её стороны*). АО - одна из сторон этой звезды. Обозначим её длину х.
Обозначим М - точку пересечения AD и ЕС (напомню еще раз: О - точка пересечения AD и ЕВ, а не ED, как НЕ ВЕРНО сказано в условии).
Рассмотрим треугольник ЕАМ. В нем ЕМ = ЕО = АО = х. ЕО - биссектриса угла АЕМ, поскольку дуги АВ и ВС равны, а углы АЕВ и ВЕС вписанные, и опираются на них.
Кроме того, дуга АЕ равна дуге ВС, следовательно, АВ параллельно ЕС, и - поэтому АМСВ - ромб ( параллелограмм с равными соседними сторонами).
Итак, АМ = АВ = а (по условию а = 2);
Теперь все элементарно. Из свойства биссектрисы МО/АО = МЕ/АЕ, то есть
(a - x)/x = x/a;
x^2 - a*x - a^2 = 0;
x = a*(1 + √5)/2; (отрицательное решение отброшено).
ответ АО = 1 + √5
*Есть еще зеркальная симметрия относительно ВМ, и других таких прямых, которые проходят через вершину пятиугольника перпендикулярно противоположной стороне. Поэтому равны соседние стороны звезды.
Замечание. Треугольник ЕАМ имеет угол при вершине 36 градусов (в радианах π/5) , а углы при основании ЕМ - по 72 градуса (в радианах 2*π/5). Ясно, что x/(2*a) - это косинус угла при основании, то есть
cos(2*π/5) = (1 + √5)/4 = sin(π/10);
Таким образом, вычислены в радикалах функции углов, кратных π/10 = 18 градусам (получить остальные не трудно из тригонометрических формул).
Я не уточнял все это, потому что это было не нужно для решения. :))))