Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
1)пусть х - коэффициент пропорциональности. тогда, углы ∆ будут =х; 2х;3х. сумма всех углов ∆=180°. составим уравнение: х+2х+3х=180; 6х=180; х=30; откуда первый угол=х=30°; второй =2х=2*30=60°; третий угол=3х=3*30=90°. ответ: 30°; 60°; 90°. остальные делаем аналогично.
2) 4х+5х+6х=180; 15х=180; х=12; 1 угол=4х=4*12=48°; 2 угол=5х=5*12=60°; 3 угол=6х=6*12=72°. ответ: 48°; 60°; 72°.
3) 5х+5х+8х=180; 18х=180; х=10; 1 угол=5х=5*10=50°; 2 угол=5х=5*10=50°; 3 угол=8х=8*10=80°. ответ: 50°; 50°; 80°.