Из точки D, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр DC и две равные наклонные DA и DB. Известно, что наклонные равны 4 см и ∠CDB=32°. Найдите перпендикуляр DC и проекцию наклонной AC.
Объяснение:
DC-перпендикуляр к плоскости , DA и DB-наклонные, DA=DB=4 см, CA-проекция наклонной DA.
1)ΔDСВ-прямоугольный , т.к. DC⊥α ( значит любой прямой лежащий в этой плоскости)
cos∠CDB=DС/DВ , cos32°=DС/4 ,DС=4cos32° ;
sin∠CDB=CВ/DВ , sin32°=CВ/4 , СВ=4sin32°.
2)ΔDAC=ΔDBC как прямоугольные по катету и гипотенузе:
катет DC-общий, гипотенузы DA=DB поусловию⇒CA=CD=4sin32°.
Дано:
AD = 4 см.
BK = 3 см.
AC = 8 см.
△ADC и BKC - прямоугольные.
Найти:
Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то напротив лежащий угол равен 30°.
=> ∠C = 30°.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
=> ∠DAC = 90˚ - 30˚ = 60˚.
Если угол прямоугольного треугольника равен 60°, то противолежащий катет равен произведению меньшего катета на √3.
=> DC = 4√3 см.
S △АВС = 1/2АС * ВК = 8/2 * 3 = 12 см²
S △ADC = AD * DC/2 = 4 * 4√3/2 = 8√3 см²
=> S △ADB = S △ADC - S △ABC = 8√3 - 12 = 4(2√3 - 3) см²
Составим уравнение:
Пусть х - DB.
S △ADB = AD * DB/2
4(2√3 - 3) = 4 * x/2
8√3 - 12 = 2x
2x = 8√3 - 12
x = 4√3 - 6
Итак, если DB = (4√3 - 6) см и DC = 4√3 см, то ВС = 6 см.
ответ: 6 см.