Question

Площадь равнобедренной трапеции равна 2. найдите наименьшее значение длины диагонали трапеции.

Answer 1

Пусть АВСD - равнобочная трапеция, AB=CD, BC||AD, BC<AD, S(ABCD)=2

Проведем высоты BK, CH.
Тогда 
$S=BK*\frac{BC+AD}{2}=BK*\frac{KH+KH+2AK}{2}=BK*(KH+AK)=BK*AH=AH*CH$

По теореме Пифагора диагональ трапеции $AC=\sqrt{AH^2+CH^2}$

Пусть $CH=x$, тогда $AH=\frac{2}{x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{x^2+(\frac{2}{x})^2}$, x>0
$f(x)=\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}}$
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}}}*(2x-8x^{-3})$
ищем критические точки
$f'(x)=0$
$2x-\frac{8}{x^3}=0$
$x^4=4; x^2=2; x0; x=\sqrt{2}$
при х є $(0;\sqrt{2}): f'(x)$
при х є $(\sqrt{2};+\infty): f'(x)0$
$x=\sqrt{2}$ - точка минимума

значит наименьшее значение длины диагонали трапеции равно
$d_{min}=\sqrt{2+\frac{2}{2}}=\sqrt{3}$