Question

3. Угол при основании равнобедренного треугольника АВС (AB = BC) равен 35°. На лучe AB отметили точку D так,
что AB = BD.
1) Докажите, что медиана ВК треугольника BCD пер-
пендикулярна высоте ВМ треугольника ABC.
2) Найдите угол BCD.

Answer 1

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово.

1) Докажем, что медиана ВК треугольника BCD перпендикулярна высоте ВМ треугольника ABC.

Для начала, нарисуем треугольники ABC и BCD:

C
/ \
/ \
/ \
/ \
/_________\
A M B
|
|
V
K


Обратим внимание на то, что треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Мы также знаем, что угол при основании равнобедренного треугольника равен 35°.

Так как AB = BC, то мы можем сказать, что угол ABC = углу BAC = 35° (из свойств равнобедренного треугольника).

Далее, мы знаем, что медиана ВК пересекает точку M, которая является серединой стороны AC.

Следовательно, BM = MC.

Так как у нас имеется равнобедренный треугольник ABC, высота ВМ будет проходить через точку M и будет перпендикулярна его основанию AC.

Теперь, чтобы доказать, что медиана ВК перпендикулярна высоте ВМ, нам необходимо показать, что угол КВМ прямой.

Воспользуемся определением перпендикулярности углов: два угла являются перпендикулярными, если их сумма равна 90° .

Мы уже знаем, что угол ABC = 35°.

Заметим, что угол КBM также равен 35°, так как CD = BD = AB = BC.

Следовательно, угол КВМ = 35° + 35° = 70°.

Так как мы доказали, что угол КВМ равен 70°, а сумма углов КВМ и ВКМ равна 90° (так как угол КВМ прямой), то можно утверждать, что медиана ВК перпендикулярна высоте ВМ.


2) Чтобы найти угол BCD, нам необходимо использовать соотношение углов треугольника BCD.

Из предыдущих выкладок, мы уже выяснили, что угол КBM = 35°.

Так как угол КМВ прямой (как мы доказали в предыдущем шаге), то в треугольнике BCD у нас имеется два вертикальных угла: угол КМВ = углу ВCD.

Следовательно, угол BCD = угол ВCD = угол КМВ = 35°.

Таким образом, угол BCD равен 35°.