Question

В равностороннем треугольнике ABC со стороной 6 см проведена высота AD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) bc и ad
б) ab и ac
в) ad и ac

Выполните рисунок к заданию.

Answer 1

ΔАВС - равносторонний, АВ=АС=ВС=6 см ,

AD⊥ВС  ⇒   ∠ADC=90° ,  

BD=DC , так как в равностороннем треугольнике высота является и медианой , поэтому  BD=DC=6:2=3 см .

По теореме Пифагора имеем

$AD^2=AC^2-DC^2=6^2-3^2=36-9=27\ ,\ AD=\sqrt{27}=3\sqrt3$

а) Векторы BC и AD , значит их скалярное произведение равно 0 .

    $\overline{BC}\cdot \overline{AD}=0$

б)  Все углы равностороннего треугольника равны 60° . По определению скалярного произведения имеем

$\overline{AB}\cdot \overline{AC}=|\overline{AB}|\cdot |\overline{AC}|\cdot cos60^\circ =6\cdot 6\cdot \dfrac{1}{2}=18$

в) Так как высота равностороннего треугольника ещё и биссектриса угла треугольника, то угол между высотой AD и стороной AC равен 30°

$\overline{AD}\cdot \overline{AC}=|\overline{AD}|\cdot |\overline{AC}|\cdot cos30^\circ =3\sqrt3\cdot 6\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=27$