Question

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 корня из 6, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Найдите площадь описанной сферы.

Answer 1

Чтобы найти площадь описанной сферы, нам понадобятся знания о правильной четырехугольной пирамиде, а также о прямых треугольниках в этой пирамиде.

Первое, что мы замечаем из условия задачи, это то, что диагональ основания равна 4 корня из 6. Поскольку основание правильной пирамиды является квадратом, это означает, что сторона основания равна:

сторона = диагональ / √2

сторона = (4√6) / √2
сторона = 2√6

Теперь нарисуем пирамиду и обведем те треугольники, про которые мы говорили ранее:

A
/ |\
/ | \
/ | \
/____|___\
B C D

P –– основание
AB –– боковая грань
AC –– боковая грань
AD –– боковая грань
BCD –– основание

Заметим, что ∠BCD = ∠BDC, так как они являются углами основания четырехугольника BCD.

Также по условию, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Это означает, что ∠CBA = 60° и ∠BAD = 60°.

Мы видим, что треугольник BCD является прямым, поскольку ∠BCD = ∠BDC = 90°. Также у нас есть два равных угла ∠CBD = ∠CBD = 60°.

Поскольку BC = CD (равные стороны прямоугольного треугольника), то треугольник BCD является равнобедренным.

Теперь мы можем найти значения BC и CD. Разделив сторону основания пополам, получим:

BC = CD = (2√6) / 2
BC = CD = √6

Для того чтобы найти BD, будем использовать теорему Пифагора для треугольника BCD:

BC² + CD² = BD²
(√6)² + (√6)² = BD²
6 + 6 = BD²
12 = BD²
BD = √12
BD = 2√3

Теперь у нас есть высота пирамиды. Чтобы найти радиус описанной сферы (R), мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABD:

AB² + BD² = AD²
(2√6)² + (2√3)² = AD²
24 + 12 = AD²
36 = AD²
AD = √36
AD = 6

Так как пирамида правильная и AD является высотой, то это является радиусом описанной сферы.

Теперь мы можем найти площадь описанной сферы, используя формулу:

S = 4πR²

S = 4π(6)²
S = 4π(36)
S = 144π

Поэтому площадь описанной сферы равна 144π.