Пусть точки Е F будут точки касания окружности с сторонами , так как касательные проведенные с одной точки равны, в нашем случае AE=AD ; EB=BF ; EC=DC. Переобозначим их как x, z,y . AB=x+z=5 BC=z+y=7 AC=x+y=6 решим систему {x+z=5 {z+y=7 {x+y=6
{x=5-z {z+y=7 {5-z+y=6
{z+y=7 {y-z=1
{z=7-y {y-7+y=1 {2y=8 {y=4 {z=3 {x=2 Мы узнали длин до точек касания , теперь найдем по теореме косинусов сам угол ВАС. 7^2=5^2+6^2-2*5*6*cos(ABC) cosa=(49-25-36)/-60 = 1/5
Теперь нашу сторону ВД опять по теореме косинусов BD=√(5^2+2^2-2*5*2*(1/5)) = √25 = 5 ответ ВД = 5
Если соединить центры этих окружностей с основанием высоты, то эти отрезки будут биссектрисами прямых углов, которые высота образует с гипотенузой. Поэтому они перпендикулярны. Поскольку при этом длины касательных от основания высоты к обеим окружностям равны радиусам, то расстояния от него до центров равны величине диагонали квадрата со стороной r1 и r2. Искомое расстояние (в квадрате) отсюда равно (√2*r1)^2 + (√2*r2)^2 = 2*(r1^2 + r2^2); Для треугольника с катетом 1 и углом в 30° стороны равны 1, √3 и 2. Отсюда r = (1 + √3 - 2)/2 = (√3 - 1)/2; это радиус окружности, вписанной в АВС. Коэффициенты подобия для треугольников равны 1/2 и √3/2 (у одно из треугольников меньший катет - это высота АВС, равная √3/2, а у другого эта высота - больший катет, откуда меньший равен 1/2). поэтому r1 = r/2; r2 = r√3/2; легко видеть, что искомое расстояние d = √2*r (треугольник, образованный отрезками соединяющими центры с основанием высоты и между собой, оказался тоже подобный исходному, то есть в нем гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, равного √2*r1 = √2*r/2; ответ d = √2*(√3 - 1)/2
1).125
2).148
3).180
..