Question

а=10, в=12, угол А=45°. Найти сторону с, угол В, угол С используя теорему катетов и синусов. (распишите , как можно подробнее)

Answer 1

Используя теоремы синусов и косинусов мы нашли:

с = 13,7 ед., ∠В = 58°, ∠С = 77°.

Объяснение:

Требуется найти сторону с, угол В, угол С используя теоремы косинусов и синусов.

Дано: ΔАВС.

a = 10; b = 12;

∠C = 45°.

Найти: с, ∠А; ∠В.

1. Для того, чтобы найти ∠В, воспользуемся теоремой синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:$\displaystyle \boxed {\frac{a}{sin\angle{A}}=\frac{b}{sin\angle{B}}=\frac{c}{sin\angle{C} } } }$

Подставим значения в формулу значения: a = 10; b = 12;

$\displaystyle sin\;45^0=\frac{\sqrt{2} }{2}$.

$\displaystyle \frac{a}{sin\angle{A}}=\frac{b}{sin\angle{B}} \\ \\\ \frac{10}{\frac{\sqrt{2} }{2} } =\frac{12}{sin\angle{B}} \\ \\ sin\angle{B}=\frac{\sqrt{2}*12 }{2*10}\approx 0,85$

⇒  по таблице найдем ∠В ≈ 58°

2. Найдем ∠С.

Нам уже известны ∠А = 45° и ∠В = 58°.

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒

∠С = 180° - (∠А +∠В) = 180° - (45° +58°) = 77°.

Итак ∠С  =77°

3. Осталось найти сторону с.

Найдем сторону с по теореме синусов.

∠С  =77° ⇒ sin 77° = 0,97

Подставим значения b = 12; sin∠C = 0,97; sin∠B = 0,85:

$\displaystyle \frac{b}{sin\angle{B}}=\frac{c}{sin\angle{C}}\\ \\ \frac{12}{0,85} = \frac{c}{0,97} \\ \\ c=\frac{12*0,97}{0,85} \approx 13,7$

Сторона с = 13,7 (ед.)

* Сторону с можно также найти по теореме косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.$\boxed {c^2=a^2+b^2-2ab\;cos\angle{C}}$

∠С = 77°  ⇒ cos ∠C = 0,22

Подставим в формулу значения: а = 10; b = 12; cos ∠C = 0,22:

$\displaystyle c^2=10^2+12^2-2*10*12*0,22=\\ \\ =244-52,8=191,2\\ \\ c=\sqrt{191,2}\approx 13,7$

Сторона с = 13,7 (ед).