Наименьший угол треугольника равен ≈ 20,7°.
Объяснение:
Наименьший угол лежит против наименьшей стороны треугольника, то есть против стороны, равной 8 ед.
Находим площадь треугольника АВС по Герону:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где р - полупериметр, a,b,c - стороны.
p = (12+18+8)/2 = 19 ед.
S = √(19·7·1·11) = √1463 ≈ 38,25 ед.
С другой стороны, по формуле площади треугольника:
S = (1/2)·a·b·Sinα. В нашем случае:
38,25 = (1/2)·12·18·Sinα =>
Sinα =(38,23·2)/(12·18) ≈ 76,5/216 = 0,354.
α = arcsin0,354 ≈ 20,73°. (по калькулятору или таблице).
Или так:
Нужный угол - α (лежит против меньшей стороны).
Опустим высоту BH = h.
Тогда в прямоугольном треугольнике АВН:
h² = 8²-(18-x)², а в треугольнике СВН h² = 12² - х ² =>
64 - 324 +36x - x² = 144 - x.² => 36х = 404. х ≈ 11,2.
Cosα = 11,2/12 ≈ 0,935.
α = arccos0,935 ≈ 20,77° (по калькулятору).
1. Сумма одной пары внешних углов треугольника равна 194°, а сумма другой пары внешних углов - 321°. Найдите внутренние углы треугольника.
Пусть данный треугольник АВС.
Сумма внешних углов при вершине А=321°. Внешние углы при одной вершине вертикальные и равны, тогда каждый из них равен 321°:2=160,5°
Сумма внешнего и внутреннего угла треугольника, смежного с ним, равна 180°. ∠ВАС=180°-160,5°=19,5°
Сумма внешних углов при вершине С=194°, а каждый из них равен 194:2=97°. Смежный с ним внутренний ВСА=83°
Угол АВС=180°-(19,5°+83°)=77,5°
Углы ∆ АВС равны 19,5°; 87°; 77,5°
---------------------
2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины при основании, образует с основанием угол, равный 34 градуса. Какой угол образует медиана, проведенная к основанию, с боковой стороной?
Пусть данный треугольник АВС. АМ - биссектриса угла А, ВН - медиана проведенная к АС.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и
∠ А=∠С=34°•2=68°.
∠ АВС=180°-2•68°=44°
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, еще и его высота и биссектриса. Она делит угол пополам. Угол, образованный медианой с боковой стороной, -∠ НВА=44°:2=22°