ДО площини паралелограма АВСD, у якого АВ = 24 см, АD = 40 см, ∠АВС = 1500, проведено перпендикуляр МО, де О - точка перетину діагоналей паралелограма, МО = 8 см. Обчисліть відстань від точки М до сторін паралелограма.
Треугольники AMC и BMC подобны. В подобных треугольниках углы попарно равны. ∠АМС=∠ВМС - по условию. ∠ВСМ≠∠АСМ в противном случае дуга АД была бы равной дуге АД, что в свою очередь ведет к равенству дуг СВД и САД. Из этого получим, что СД - диаметр окружности, перпендикулярный хорде. Тогда получим, что АМ=МВ, что противоречит условию задачи. Значит ∠ВСМ=∠САМ. Составим отношение сходственных сторон в подобных треугольниках. АС/СВ=СМ/МВ=АМ/СМ. В два последних отношения подставим известные данные, получим СМ/9=4/СМ, СМ²=36, СМ=6 Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. АМ*МВ=СМ*МВ
1.
ΔАВО: ∠АОВ = 90°, АВ = 20 см, BO = BD/2 = 12 см, по теореме Пифагора
|↑AO| = √(AB² - BO²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см
2. |↑AD + ↑BA| = |↑BD| = 24 см
3. |↑AD + 1/2 ↑BD| = |↑BC + ↑BO| = |↑BK|
ΔВОС: ∠ВОС = 90°, cos∠OBC = BO/BC = 12/20 = 3/5
cos∠BСK = cos(180° - ∠OBC) = - cos∠OBC = - 3/5
Из треугольника ВСК по теореме косинусов:
BK² = BC² + CK² - 2·BC·CK· cos∠BСK
BK² = 400 + 144 - 2 · 20 · 12 (- 3/5) = 544 + 288 = 832
BK = 8√13
|↑AD + 1/2 ↑BD| = 8√13