Question

Упражнение 7 из 15 Реши задачу. В треугольнике DFR провели прямую, параллельную стороне FR так, что она пересекает стороны DF и DR в точках S иQ, соответственно. Найди длину стороны DR, если площадь треугольника DSQ равна 42 см2, SQ = 7 см, DS = 15 см, FR = 14 см. — Вырази ответ в сантиметрах и запиши числом. Введи ответ Остала

Answer 1

В треугольнике DFR провели прямую, параллельную стороне FR так, что она пересекает стороны DF и DR в точках S и Q, соответственно. Найди длину стороны DR, если площадь треугольника DSQ равна 42 см², SQ = 7 см, DS = 15 см, FR = 14 см.

4√37 см

Объяснение:

∠DSQ = ∠DFR как соответственные при пересечении SQ║FR секущей DF, ∠D - общий для треугольников DSQ и DFR, значит

ΔDSQ ~ ΔDFR по двум углам.

$\dfrac{DS}{DF}=\dfrac{SQ}{FR}$

$DF=\dfrac{DS\cdot FR}{SQ}=\dfrac{15\cdot 14}{7}=15\cdot 2=30$ см

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения сходственных сторон.

$\dfrac{S_{DSQ}}{S_{DFR}}=\left(\dfrac{SQ}{FR}\right)^2$

$\dfrac{42}{S_{DFR}}=\dfrac{7^2}{14^2}=\dfrac{1}{4}$

$S_{DFR}=42\cdot 4=168$  см²

Площадь треугольника DFR можно вычислить так же по формуле:

$S_{DFR}=\dfrac{1}{2}DF\cdot FR\cdot \sin\angle F$

$168=\dfrac{1}{2}\cdot 30\cdot 14\cdot \sin\angle F$

$168=210\cdot \sin\angle F$
$\sin\angle F=\dfrac{168}{210}=0,8$

$\cos\angle F=\sqrt{1-\sin^2\angle F}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6$

Из треугольника DFR по теореме косинусов:

$DR^2=DF^2+FR^2-2\cdot DF\cdot FR\cdot \cos\angle F$

DR² = 30² + 14² - 2 · 30 · 14 · 0,6

DR² = 900 + 196 - 504 = 592

DR = √592 = 4√37 см

Answer 2

Для решения данной задачки будем использовать свойство параллельных прямых, которое гласит: если две прямые параллельны, то соответствующие им углы равны друг другу, а также пропорциональны длинам соответствующих отрезков.

Обозначим длину стороны DR как х. Также обратим внимание, что треугольники DQR и DSR являются подобными, так как углы QDR и SDS являются соответственными углами и равны друг другу (так как прямая, проведенная через стороны треугольника параллельно одной из его сторон, разделяет его две другие стороны пропорционально).

Теперь найдем отношение сторон треугольников DQR и DSR, используя свойство подобных треугольников. Отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих сторон:
DR/DS = DQ/SQ

Заменяем известные значения:
х/15 = (х-7)/7

Далее, упростим уравнение:
7х = 15(х-7)
7х = 15х - 105
105 = 15х - 7х
8х = 105
х = 105/8
х = 13.125

Таким образом, длина стороны DR равна 13.125 см. Ответ: 13.125 см.