дано:
ΔАВС - прямоугольный (∠С = 90°),
∠А = 45°,
CД - высота,
∠СДВ = 90°,
S = 50,
найти: СД - ?,
1.
так как треугольник прямоугольный, а ∠А = 45°, то ∠В = 45°, значит данный треугольник еще является и равносторонним с основанием АВ, тоесть:
АС = ВС - катеты,
2.
площадь прямоугольного треугольника равна S = 1/2 * ав, отсюда:
S = 1/2 * АС * ВС = 1/2 * АС²,
АС²= S : 1/2 = 2S,
АС² = 2 * 50 = 100,
АС = ВС = 10,
3.
по теореме Пифагора:
АВ² = АС² + ВС²,
АВ² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200,
АВ = √200 = 10√2,
далее можно решать более длинный):
4.
так как треугольник АВС - равносторонний, то СД - медиана:
АД = ВД = 1/2 * АВ = 1/2 * 10√2 = 5√2,
5.
рассм. ΔАСД - прямоугольный (так как СД - высота):
∠АСД = 45°, значит ΔАСД - равносторонний, поэтому:
СД = АД = 5√2,
2 спопоб (проще и короче):
4.
СД = (АС * ВС) / АВ,
СД = (10 * 10) / 10√2 = 100 / 10√2 = 10/√2 =
= (10*√2)/(√2*√2) = 10√2 / 2 = 5√2
ответ: СД = 5√2
Решение.
Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.
1. Пусть окружность с центром О1 имеет радиус r , окружность центром O2 имеет радиус R, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.
Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.
Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A // (палочи прямые) O2B , точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D=EF.
Кроме того: O1O = r+x, O1O2 = r+R , O2O = R+x , O1E = r-x , O2D = R-r , O1D =EF=EO+OF , O2F = R-x.
Далее имеем:
(R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) = (r+x)^2 - (r-x)^2(все выражение под корнем) = (R+x)^2 - (R-x)^2;
2*Rx (Rx под корнем) = 2* rx (rx под корнем) + 2*Rx (Rx под корнем)
2. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R, окружность с центром O имеет радиус r, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a (см. тот же рисунок). Аналогично случаю 1 имеем:
(x+R)^2 - (x-R)^2 (все выражение под корнем) = (R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) + (x+r )^2 - (x-r)^2(все выражение под корнем) ;
2*Rx(Rx под корнем) = 2* Rr(Rr под корнем) +2*rx(rx под корнем)