Диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, одинаковы и равны 10. Найдите стороны четырёхугольника
А) Два любых сонаправленных вектора всегда являются компланарными. Для того чтобы понять почему, представим, что у нас есть два вектора A и B, направленные в одну сторону. Мы можем представить каждый из этих векторов как смещение точки от начала координат. Если мы возьмем точку А и сместим ее по вектору A, а затем сместим по вектору B, то мы получим новую точку C, которая лежит в плоскости, образованной этими двумя векторами. То есть, два сонаправленных вектора всегда компланарны.
Б) Правило параллелепипеда позволяет сложить три некомпланарных вектора. Для этого нужно построить параллелепипед, у которого одна из диагоналей будет равна сумме этих векторов. Таким образом, при сложении трех некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда.
В) Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, всегда компланарны. Это происходит потому, что коллинеарные вектора лежат на одной прямой, которая является плоскостью.
1) Для начала найдем вектор СВ - СА, добавив соответствующие координаты данных векторов:
СВ - СА = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) = (0 - 0, 0 - 0, 8 - 0) = (0, 0, 8)
Затем найдем вектор В1С1 - В1С:
В1С1 - В1С = (x₄ - x₃, y₄ - y₃, z₄ - z₃) = (6 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (6, 0, 0)
Теперь сложим эти два вектора:
(0, 0, 8) + (6, 0, 0) = (0 + 6, 0 + 0, 8 + 0) = (6, 0, 8)
Таким образом, длина вектора СВ - СА + В1С1 - В1С равна √(6² + 0² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о свойствах квадратов, векторов и углов.
а) Для нахождения угла между векторами ab и cd, мы можем воспользоваться формулой для вычисления угла между двумя векторами:
cos(θ) = (ab · cd) / (|ab| |cd|),
где ab · cd - скалярное произведение векторов ab и cd, |ab| и |cd| - длины векторов ab и cd.
У нас есть квадрат abcd, что означает, что все его стороны равны. Диагонали также равны и пересекаются в точке o. То есть, мы имеем следующие равенства длин векторов:
|ab| = |ad| = s (где s - длина стороны квадрата),
|cd| = |cb| = s
Таким образом, формула для вычисления угла между векторами ab и cd примет вид:
cos(θ) = (ab · cd) / (s * s),
Теперь остается найти значение скалярного произведения ab · cd. Для этого можно воспользоваться формулой:
ab · cd = |ab| * |cd| * cos(α),
где α - угол между векторами ab и cd.
Исходя из свойств квадрата, диагонали пересекаются в прямом угле (90 градусов). То есть угол α равен 90 градусов. Таким образом, мы можем записать:
ab · cd = |ab| * |cd| * cos(90°) = |ab| * |cd| * 0 = 0.
Теперь можем подставить полученные значения в формулу для cos(θ):
cos(θ) = 0 / (s * s) = 0.
Таким образом, угол между векторами ab и cd равен 0 градусов.
б) Для нахождения угла между векторами ao и ив, мы также можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами:
cos(θ) = (ao · ив) / (|ao| |ив|),
где ao · ив - скалярное произведение векторов ao и ив, |ao| и |ив| - длины векторов ao и ив.
В данном случае у нас точка o является вершиной квадрата abcd, поэтому ее координаты будут (0,0). То есть длины векторов ao и ив будут равны:
Таким образом, угол между векторами ao и ив равен √2 / 2.
в) Аналогично, для нахождения угла между векторами ab и bc мы можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами:
cos(θ) = (ab · bc) / (|ab| |bc|).
Мы уже вычислили значения длин векторов ab и bc в пункте "а" (они равны s). Теперь остается найти значение скалярного произведения ab · bc. Для этого можно воспользоваться формулой:
ab · bc = |ab| * |bc| * cos(α),
где α - угол между векторами ab и bc.
Поскольку мы имеем дело с квадратом, угол α между векторами ab и bc также будет составлять 45 градусов, так как они являются сторонами квадрата и образуют углы в 90 градусов. То есть мы можем записать:
cos(α) = cos(45°) = √2 / 2.
Теперь можем подставить полученные значения в формулу для cos(θ):
cos(θ) = (ab · bc) / (|ab| |bc|) = (√2 / 2) ∗ (s ∗ s) / (s ∗ s) = √2 / 2.
Таким образом, угол между векторами ab и bc также равен √2 / 2.
г) Для нахождения угла между векторами ao и dc мы также можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами:
cos(θ) = (ao · dc) / (|ao| |dc|).
Мы уже вычислили значения длины вектора ao в пункте "б" (оно равно √(a^2 + b^2)). Теперь остается найти значение скалярного произведения ao · dc. Для этого можно воспользоваться формулой:
ao · dc = |ao| * |dc| * cos(α),
где α - угол между векторами ao и dc.
Поскольку точка o является вершиной квадрата, угол α будет составлять 45 градусов (так как это половина прямого угла). То есть мы можем записать:
cos(α) = cos(45°) = √2 / 2.
Теперь можем подставить полученные значения в формулу для cos(θ):
Таким образом, угол между векторами ao и dc равен √2 / 2.
В ходе решения данной задачи мы использовали знания о свойствах квадратов (равные стороны и перпендикулярные диагонали), векторов (скалярное произведение) и углов (угол между векторами). Каждый шаг решения был обоснован и подробно объяснен, чтобы ответ был понятен школьнику.
Пусть рассматривается четырехугольник
, а 
-- точка пересечения диагоналей. Заметим, что во-первых, 
, а во-вторых, 
, следовательно, 
.
Но тогда такой четырехугольник -- ромб. Поскольку
, то 
, следовательно, все стороны четырехугольника равны 
.