В треугольнике ABC угол C равен 60°, сторона AB имеет длину √21 см, периметр треугольника равен (6 + √21) см. Найдите площадь треугольника и радиус вписанной в него окружности С ПОДРОБНЫМ ОБЪЯСНЕНИЕМ
Площадь через сторону 14 и высоту к ней S = 1/2*14*12 = 7*12 = 84 см² Площадь через сторону 13 и высоту к ней S = 1/2*13*h₂ = 84 см² 1/2*13*h₂ = 84 h₂ = 84*2/13 = 168/13 см Площадь через сторону 15 и высоту к ней S = 1/2*15*h₃ = 84 см² 1/2*15*h₃ = 84 h₃ = 84*2/15 = 168/15 см
Найдём по известным сторонам первую высоту Полупериметр p = 1/2(13 + 14 + 15) = 21 см Площадь по формуле Герона S = √(21(21-13)(21-14)(21-15)) = √(21*8*7*6) = 7√(3*8*6) = 7*3√(8*2) = 7*3*4 = 84 см² Площадь через сторону 14 и высоту к ней S = 1/2*14*h₁ = 84 см² 1/2*14*h₁ = 84 h₁ = 84/7 = 12 см
Площадь через сторону 14 и высоту к ней S = 1/2*14*12 = 7*12 = 84 см² Площадь через сторону 13 и высоту к ней S = 1/2*13*h₂ = 84 см² 1/2*13*h₂ = 84 h₂ = 84*2/13 = 168/13 см Площадь через сторону 15 и высоту к ней S = 1/2*15*h₃ = 84 см² 1/2*15*h₃ = 84 h₃ = 84*2/15 = 168/15 см
Найдём по известным сторонам первую высоту Полупериметр p = 1/2(13 + 14 + 15) = 21 см Площадь по формуле Герона S = √(21(21-13)(21-14)(21-15)) = √(21*8*7*6) = 7√(3*8*6) = 7*3√(8*2) = 7*3*4 = 84 см² Площадь через сторону 14 и высоту к ней S = 1/2*14*h₁ = 84 см² 1/2*14*h₁ = 84 h₁ = 84/7 = 12 см
Объяснение:
BC=a, AC=b, AB=c
t=a+b => t^2 =a^2 +b^2 +2ab
Теорема косинусов
c^2 =a^2 +b^2 -2ab cos60 => c^2 =a^2 +b^2 -ab
Вычтем
t^2-c^2 =3ab => ab =(t^2-c^2)/3
S =1/2 ab sin60 =1/2 (t^2-c^2)/3 *√3/2 =(t^2-c^2)/4√3
S =pr => (t^2-c^2)/4√3 =r(t+c)/2 => r=(t-c)/2√3
t=6, с=√21
S =(36-21)/4√3 =5√3/4
r =(6-√21)/2√3 =√3 -√7/2