Построение: возьмем точку O на прямой, которая точно не лежит на перпендикуляре (это можно сделать на глаз без измерений), проведем окружность с центром в точке O и радиусом OP, где P – данная точка. Эта окружность пересекает прямую в двух точках A и B. Проведем окружности с центром с точке A и радиусом AP и с центром в точке B и радиусом AP. Последняя окружность пересекает первую в некоторой точке Q, прямая PQ – искомая.
Доказательство: Равнобедренные треугольники APO и BQO равны по трём сторонам, тогда отмеченные на чертеже углы равны. Пусть ∠A = α, тогда ∠AOP = ∠BOQ = 180° - 2α; ∠POQ = β = 180° - 2∠AOP = 4α - 180°. Отсюда ∠OPQ = (180° - β)/2 = 180° - 2α. Углы ∠AOP и ∠OPQ оказались равны, а так как это накрест лежащие углы при прямых AB и PQ и секущей PO, то AB || PQ, что и требовалось доказать.
1) Провести в трапеции высоты BK⊥AD; CM⊥AD
Пусть AK=x. Тогда MD = AD - BC - AK = 12-8-x = 4-x
ΔABK прямоугольный : ∠AKB = 90°. Теорема Пифагора
h² = BK² = AB² - AK² = 13² - x²
ΔDCM прямоугольный : ∠DMC = 90°. Теорема Пифагора
h² = CM² = CD² - MD² = 15² - (4-x)²
⇒ 13² - x² = 15² - (4-x)²
169 - x² = 225 - 16 - x² + 8x
-56 = 8x Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то трапеция не может иметь вид 1)
2) Провести в трапеции высоты BK⊥AD; CM⊥AD
Пусть AK=x. Тогда MD = AD - BC + AK = 12-8+x = 4+x
ΔABK прямоугольный : ∠AKB = 90°. Теорема Пифагора
h² = BK² = AB² - AK² = 13² - x²
ΔDCM прямоугольный : ∠DMC = 90°. Теорема Пифагора
h² = CM² = CD² - MD² = 15² - (4+x)²
⇒ 13² - x² = 15² - (4+x)²
169 - x² = 225 - 16 - x² - 8x
8x = 40; x = 5
h² = 13² - x² = 169 - 25 = 144; h = 12
Площадь трапеции
S = (AD + BC)*h/2 = (12+8)*12/2 = 120 кв. ед.