Условие насчет шара просто задает нам равенство расстояния между сечениями и диаметра окружности, вписанной в треугольники в сечениях. Ясно, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, но так же ясно, что диаметр шара равен расстоянию между основаниями, раз шар их касается.
Из соображений симметрии понятно и то, что плоскости сечений перпендикулярны большой диагонали куба, соединяющей "отсеченные" вершины (это ОЧЕНЬ просто увидеть, если посмотреть на куб вдоль этой диагонали).
Смысл решения такой.
Находим большую диагональ d = a*корень(3);
далее, пусть сторона треугольника x,
тогда диаметр вписанной окружности D = x/корень(3),
боковая сторона отсеченных правильных треугольных пирамид равна
x/корень(2), её проекция на основание (на плоскость треугольника, это радиус ОПИСАННОЙ вокруг правильного треугольника окружности) равна x/корень(3), отсюда высота пирамиды равна
H^2 = x^2/2 - x^2/3 = x^2/6; H = x/корень(6);
Ну, и получаем соотношение
d - 2*H = D; то есть
a*корень(3) - 2*x/корень(6) = x/корень(3);
а радиус шара равен r = D/2= x/(2*корень(3))
a*корень(3) = 2*r*(корень(2) + 1);
r = (1/2)*a*корень(3)/(корень(2) + 1);
Вроде так :(((
проведём диагональное сечение! наибольшее будет проходить через острые углы параллелограмма!
в сечении получился прямоугольник, так как параллелепипед прямой по условию!
длина сечения - диагональ оснгования, а ширина - высота параллелепипеда!
АС - диагональ!
найдём ее из треугольника АСД через теорему косинусов!
АС^2=AD^2+DC^2-2AD*DC*COSa
a=(360-120)/2=120
AC^2=25+9-2*5*3*(-sin30)
AC^2=34+15=49
AC=7
CC1=S/AC=63/7=9
S=2So+2S1+2S2
проведём высоту основания! она отсечёт прямоугольный треугольник с гипотинузой 3 и острым углом 60!
h=AB*sin60=3sqrt3/2
So=3sqrt3/2 * 5=15sqrt3/2
S1=3*9=27
S2=5*9=45
S= 30sqrt3/2+54+90=30sqrt3/2 + 144=(30sqrt3+288)/2