Проведем АН - биссектрису угла А. Тогда <AHC=180-2α (по сумме внутренних углов треугольника), <AHВ=180-(180-2α) = 2α (как смежные углы). Отметим, что НМ - высота равнобедренного треугольника АНС. Проведем КН параллельно АС.
KH = DM, так как DKHM - прямоугольник. Тогда из треугольника ВКН:
КН=ВН*Sin(90-α) = BH*Cosα. (так как <KHB=<C = α).
Итак, DM= BH*Cosα. В треугольнике АВН по теореме синусов:
BH/Sin(<BAH)=AB/Sin(<AHB). Или BH/Sinα=AB/Sin2α. => AB=BH*Sin2α/Sinα.
Но по формуле двойного угла Sin2α = 2Sinα*Cosα =>
АВ=BH*2Sinα*Cosα/Sinα = BH*2*Cosα.
DM/AB=BH*Cosα/BH*2*Cosα =1/2. => DM=2AB, что и требовалось доказать.
Подставим координаты точек А и В в уравнение эллипса с учётом того, что он симметричный относительно осей координат.
(200/9а²) + (4/9в²) = 1,
(50/4а²) + (1/в²) = 1.
Приводим к общему знаменателю.
200в² + 4а² = 9а²в².
50в² + 4а² = 4а²в².
Умножим обе части первого уравнения на 4, а второго на 9.
800в² + 16а² = 36а²в².
450в² +36а² = 36а²в².
Вычтем из первого второе.
350в² + 20а² = 0.
Отсюда получаем а² = (35/2)в² и подставим во второе уравнение.5
50в² + 70в² = 70в⁴.
Получаем биквадратное уравнение 70в⁴ - 120в² = 0.
Сократим на 10 и сделаем замену в² = t.
7t² - 12t = 0,
t(7t - 12) = 0. t1 = 0, t2 = 12/7.
Отсюда находим значение полуосей:
в1 = 0 (не принимаем) и в2 = +-√(12/7) =+-2√(3/7).
а = +-√((35/7)*(12/7)) = +-√30.
ответ: |а| = √30, |b| = 2√(3/7).
......................
Объяснение:
......................