РЕШИТЕ 4. Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР = 12 см, АЕ=7 см, ЕВ = 4 см.
5. Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР, если АК = 5, АВ = 10.
6. Острый угол прямоугольного треугольника равен 60°. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус этой окружности, если катет, лежащий против меньшего острого угла равен 12см.
Таким образом, получаем уравнение:
(АЕ)(ЕВ) = (СЕ)(РЕ)
Подставляем данные в уравнение:
(7)(4) = (у)(x)
Учитывая, что СР = 12 и СЕ = у, имеем:
(12)(у) = (у)(x)
Так как значению СЕ соответствует длина 12 см, имеем уравнение:
12x = 28
Находим значение х, деля обе части уравнения на 12:
х = 28/12 = 7/3
Таким образом, длина отрезка РЕ равна 7/3 см, а длина отрезка СЕ равна 12 см.
5. В данной задаче воспользуемся свойством касательной, ведущей из одной точки А и секущей, пересекающей окружность в точках К и Р.
Таким образом, получаем уравнение:
(АВ)^2 = (АК)(АР)
Подставляем данные в уравнение:
(10)^2 = (5)(АР)
Находим значение АР, деля обе части уравнения на 5:
АР = 100/5 = 20
Таким образом, длина отрезка АР равна 20 см.
6. Для решения данной задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника, вписанного в окружность:
1) Вершины прямоугольного треугольника делят окружность на дуги:
- дуга, на которую вершина A делит окружность, равна углу A (30°);
- дуга, на которую вершина B делит окружность, равна углу B (60°);
- дуга, на которую вершина C делит окружность, равна углу C (90°).
2) Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, воспользуемся теоремой синусов.
Обозначим радиус окружности как R. Тогда имеем следующую систему уравнений:
sin(γ) = AC/R
sin(α) = BC/R
sin(β) = AC/BC
Учитывая, что угол γ равен 90°, угол β равен 60° (по условию), а угол α равен 30° (так как в треугольнике против лежащих углов сумма равна 90°), получаем следующую систему уравнений:
sin(90°) = AC/R
sin(30°) = BC/R
sin(60°) = AC/BC
Рассмотрим первое уравнение: sin(90°) = AC/R. Так как sin(90°) = 1, имеем:
1 = AC/R
Рассмотрим второе уравнение: sin(30°) = BC/R. Так как sin(30°) = 1/2, имеем:
1/2 = BC/R
Рассмотрим третье уравнение: sin(60°) = AC/BC. Так как sin(60°) = √3/2, имеем:
√3/2 = AC/BC
Таким образом, имеем систему уравнений:
1 = AC/R
1/2 = BC/R
√3/2 = AC/BC
Из первого уравнения находим:
AC = R
Подставляем это значение во второе уравнение:
1/2 = BC/R
Умножаем обе части уравнения на 2R:
R = 2BC
Подставляем это значение в третье уравнение:
√3/2 = R/2BC
Умножаем обе части уравнения на 2BC:
√3BC = R
Таким образом, радиус окружности равен √3BC, а дуги, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, равны 30°, 60° и 90°.