1. Тут можно много решений сделать, но вообще то задача устная.
Если взять куб со стороной 3 - пусть это ABCDA1B1C1D1, провести диагонали граней А1В и А1D, они как раз и будут такими наклонными к плоскости основания ABCD. Все что надо сообразить - что треугольник А1ВС равносторонний, поэтому угол между А1В и А1С равен 60 градусам. Понятно, что проекции диагоналей - это строны квадрата в основании. То есть выполнены все условия задачи. (Можно считать, что я "достроил" фигуру из наклонных и проекций до куба с сечением по двум пересекающимся диагоналям смежных граней)
Теперь очевидно, что расстояние от А1 до основания ABCD равно стороне куба 3.
2. Поскольку точка М равноудалена от сторон треугольника, то и её проекция - точка О равноудалена от сторон, то есть эта проекция - центр вписанной окружности. Если через точку М провести плоскость перпендикулярно одной из сторон - например АВ, то эта плоскость очевидно пройдет через О (МО - перпендикуляр к плоскости треугольника). Если обозначить за К точку пересечения этой плоскости со стороной АВ, то треугольник МОК прямоугольный, МО = 1, МК = 2 (ясно, что МК перпендикулярно стороне АВ). Отсюда угол МКО = 30 градусов.
Второй катет, который очевидно равен √3 - это радиус вписанной в АВС окружности. Отсюда легко сосчитать, что высота треугольника равна 3√3, а сторона равна 6.
(В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, то есть r = h/3; R = 2h/3; h = a√3/2)
В призме АВСА₁В₁С₁ точки О₁ и О₂ - центры описанных около оснований окружностей. Для правильного треугольника радиус описанной окружности: Rо=a√3/3 ⇒ R=АО₂=А₁О₁=5/√3. Точка О - центр шара. Окружности, описанные около оснований призмы лежат на поверхности окружности. Плоскость РКМ проходит через середину высоты призмы и параллельна её основаниям. ΔРКМ=ΔАВС. Плоскости АВС и А₁В₁С₁ параллельны, и равноудалены от плоскости РКМ, значит плоскость РКМ пересекает поверхность шара по окружности, центр которой лежит на прямой О₁О₂. в точке О. В прямоугольном тр-ке AОО₂ АО=Rш=8, АО₂=Rо=5/√3. ОО₂²=АО²-АО₂²=64-25/3=167/3. h=О₁О₂=2·ОО₂=2√(167/3)≈14.9 - это ответ.
1. Тут можно много решений сделать, но вообще то задача устная.
Если взять куб со стороной 3 - пусть это ABCDA1B1C1D1, провести диагонали граней А1В и А1D, они как раз и будут такими наклонными к плоскости основания ABCD. Все что надо сообразить - что треугольник А1ВС равносторонний, поэтому угол между А1В и А1С равен 60 градусам. Понятно, что проекции диагоналей - это строны квадрата в основании. То есть выполнены все условия задачи. (Можно считать, что я "достроил" фигуру из наклонных и проекций до куба с сечением по двум пересекающимся диагоналям смежных граней)
Теперь очевидно, что расстояние от А1 до основания ABCD равно стороне куба 3.
2. Поскольку точка М равноудалена от сторон треугольника, то и её проекция - точка О равноудалена от сторон, то есть эта проекция - центр вписанной окружности. Если через точку М провести плоскость перпендикулярно одной из сторон - например АВ, то эта плоскость очевидно пройдет через О (МО - перпендикуляр к плоскости треугольника). Если обозначить за К точку пересечения этой плоскости со стороной АВ, то треугольник МОК прямоугольный, МО = 1, МК = 2 (ясно, что МК перпендикулярно стороне АВ). Отсюда угол МКО = 30 градусов.
Второй катет, который очевидно равен √3 - это радиус вписанной в АВС окружности. Отсюда легко сосчитать, что высота треугольника равна 3√3, а сторона равна 6.
(В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, то есть r = h/3; R = 2h/3; h = a√3/2)