Из точки S к плоскости а проведены перпендикуляр SH и две наклонные SA и SB так, что SAH = HSB = 30 °. Найди соsSAB, если известно, что НВА = 90 ° и SH = 5.
Чтобы найти cosSAB, нам необходимо знать длину стороны AB.
Для начала обратимся к треугольнику SAH. Угол SAH равен 30°, а угол НВА равен 90°. Так как угол SAH + угол НВА = 120°, найти третий угол треугольника SAH можно, вычтя 120° из 180°. Таким образом, угол АHS = 60°.
Кроме того, угол SAB является дополнением для угла НВА, так как они противолежащие друг другу при пересечении двух прямых. То есть, угол SAB = 90° - 30° = 60°.
Из треугольника SAH мы уже знаем угол АHS = 60° и сторону SH = 5. Теперь нам нужно найти сторону AH.
Мы можем использовать теорему синусов, которая гласит: отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла в треугольнике равно одинаково для всех сторон и углов данного треугольника.
Применим теорему синусов для треугольника SAH:
sinSAH / SH = sinAHS / AH
Заменим известные значения:
sin30° / 5 = sin60° / AH
Упростим выражение:
1/2 / 5 = √3/2 / AH
Перемножим значения:
AH = (5 * √3) / 2
Теперь, когда у нас есть сторона AH, мы можем найти сторону AB, используя теорему Пифагора.
В треугольнике ABH, гипотенуза AH равна (5 * √3) / 2, а катет BH равен 5 (так как SH = 5). Подставим значения в теорему Пифагора:
Теперь, чтобы найти cosSAB, мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит: квадрат длины третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух остальных сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон, умноженное на косинус противолежащего угла.
Применим теорему косинусов для треугольника SAB:
(AB)^2 = (SA)^2 + (SB)^2 - 2 * SA * SB * cosSAB
Для начала обратимся к треугольнику SAH. Угол SAH равен 30°, а угол НВА равен 90°. Так как угол SAH + угол НВА = 120°, найти третий угол треугольника SAH можно, вычтя 120° из 180°. Таким образом, угол АHS = 60°.
Кроме того, угол SAB является дополнением для угла НВА, так как они противолежащие друг другу при пересечении двух прямых. То есть, угол SAB = 90° - 30° = 60°.
Из треугольника SAH мы уже знаем угол АHS = 60° и сторону SH = 5. Теперь нам нужно найти сторону AH.
Мы можем использовать теорему синусов, которая гласит: отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла в треугольнике равно одинаково для всех сторон и углов данного треугольника.
Применим теорему синусов для треугольника SAH:
sinSAH / SH = sinAHS / AH
Заменим известные значения:
sin30° / 5 = sin60° / AH
Упростим выражение:
1/2 / 5 = √3/2 / AH
Перемножим значения:
AH = (5 * √3) / 2
Теперь, когда у нас есть сторона AH, мы можем найти сторону AB, используя теорему Пифагора.
В треугольнике ABH, гипотенуза AH равна (5 * √3) / 2, а катет BH равен 5 (так как SH = 5). Подставим значения в теорему Пифагора:
(AB)^2 = (BH)^2 + (AH)^2
(AB)^2 = 5^2 + [(5 * √3) / 2]^2
(AB)^2 = 25 + 75/4
(AB)^2 = 100/4 + 75/4
(AB)^2 = 175/4
AB = √(175/4)
AB = √175 / 2
Теперь, чтобы найти cosSAB, мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит: квадрат длины третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух остальных сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон, умноженное на косинус противолежащего угла.
Применим теорему косинусов для треугольника SAB:
(AB)^2 = (SA)^2 + (SB)^2 - 2 * SA * SB * cosSAB
Заменим известные значения:
[(√175/2)^2] = [(5)^2] + [(5)^2] - 2 * 5 * 5 * cosSAB
175/4 = 25 + 25 - 50 * cosSAB
175/4 = 50 - 50 * cosSAB
Перенесем все члены с cosSAB на одну сторону:
50 * cosSAB = 50 - 175/4
50 * cosSAB = 200/4 - 175/4
50 * cosSAB = 25/4
Разделим обе части уравнения на 50:
cosSAB = 25/4 / 50
cosSAB = 25/4 * 1/50
cosSAB = 25/(4*50)
cosSAB = 25/200
cosSAB = 1/8
Итак, cosSAB = 1/8.