З точки до прямої проведено дві похилі. Довжина однієї з них 30см,а довжина її проекції на площину дорівнює 18см.Знайти довжину другої похилої,якщо її проекція дорівнює 15см.
В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ=3АС, высота АН делит гипотенузу ВС на отрезки ВН и НС (ВН=НС+8). По т.Пифагора ВС²=АВ²+АС²=9АС²+АС²=10АС², ВС=АС√10 или ВС=ВН+НС=2НС+8. Значит АС√10=2НС+8, откуда АС=(2НС+8)/√10. По формуле высота прямоугольного треугольника АН=АВ*АС/ВС=3АС²/АС√10=3АС/√10=3(2НС+8)/10=0,6НС+2,4 или АН²=ВН*НС=(НС+8)НС=НС²+8НС. Приравниваем (0,6НС+2,4)²=НС²+8НС; 0,36НС²+2,88НС+5,76=НС²+8НС; 0,64НС²+5,12НС-5,76=0; НС²+8НС-9=0. D=64+36=100, НС=(-8+10)/2=1. Следовательно гипотенуза ВС=2*1+8=10, высота АН=0,6*1+2,4=3. Тогда площадь треугольника S=1/2*AH*BC=1/2*3*10=15
По условию АС:АВ=5:7 или АС=5АВ/7. Т.к. ВМ - медиана, значит АМ=СМ=АС/2. Согласно свойству медианы BM делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника АВМ и СВМ: Sавм=Sсвм=Sавс/2. Т.к. АР- биссектриса, значит <ВАР=<САР. Согласно свойству биссектрисы АР делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон: АВ:АС=ВР:РС, АВ:5АВ/7=ВР:РС ВР:РС=7:5 или РС=5ВР/7. Тогда сторона ВС=ВР+РС=ВР+5ВР/7=12ВР/7 Аналогично и в треугольнике АВМ бисссектриса АК: АВ:АМ=ВК:КМ, АВ:АС/2=ВК:КМ, АВ:5АВ/14=ВК:КМ ВК:КМ=14:5 или КМ=5ВК/14. Тогда медиана ВМ=ВК+КМ=ВК+5ВК/14=19ВК/14. У треугольников АВМ и АКМ одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВМ, а если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты): Sавм:Sакм=ВМ:КМ=19ВК/14:5ВК/14=19:5 Sакм=5Sавм/19=5Sавс/38 Аналогично у треугольников АВС и АВР одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВС, значит Sавс:Sавр=ВС:ВР=12ВР/7:ВР=12:7. Sавр=7Sавс/12. Находим площадь четырехугольника Sкрсм: Sкрсм=Sавс-Sавр-Sакм=Sавс-7Sавс/12-5Sавс/38=65Sавс/228. Отношение площади Sкрсм:Sавс=65Sавс/228:Sавс=65/228
По т.Пифагора ВС²=АВ²+АС²=9АС²+АС²=10АС²,
ВС=АС√10 или ВС=ВН+НС=2НС+8.
Значит АС√10=2НС+8, откуда АС=(2НС+8)/√10.
По формуле высота прямоугольного треугольника
АН=АВ*АС/ВС=3АС²/АС√10=3АС/√10=3(2НС+8)/10=0,6НС+2,4 или
АН²=ВН*НС=(НС+8)НС=НС²+8НС.
Приравниваем (0,6НС+2,4)²=НС²+8НС;
0,36НС²+2,88НС+5,76=НС²+8НС;
0,64НС²+5,12НС-5,76=0;
НС²+8НС-9=0.
D=64+36=100,
НС=(-8+10)/2=1.
Следовательно гипотенуза ВС=2*1+8=10,
высота АН=0,6*1+2,4=3.
Тогда площадь треугольника S=1/2*AH*BC=1/2*3*10=15