Question

Доказать:a//b
(Все обозначения смотреть на рисунке)

Answer 1

Для доказательства данного утверждения, нам понадобится использовать свойство проходящих параллельных прямых.

По условию задачи, у нас есть два пересекающихся прямоугольника ABCD и PQRD.

Пересекающиеся прямые AC и PR являются проекциями боковой стороны PARQ на основание AD, следовательно, они параллельны (свойство 1).

Также, пересекающиеся прямые BD и PQ являются проекциями противоположной боковой стороны DBCP на основание AD, следовательно, они также параллельны (свойство 1).

Из свойств параллельных прямых (свойство 2) следует, что любые две пересекающиеся прямые, параллельные одной и той же третьей прямой, также параллельны между собой.

Таким образом, мы можем сказать, что AC || PR и BD || PQ.

Теперь рассмотрим треугольники PAR и PBD.

У нас есть следующие факты:
- прямые AC и PR параллельны (свойство 1)
- прямые BD и PQ параллельны (свойство 1)
- угол PAR и угол PBD являются соответственными вертикальными углами и, следовательно, они равны между собой (свойство вертикальных углов)
- угол PRA и угол PBD являются соответственными вертикальными углами и, следовательно, они равны между собой (свойство вертикальных углов)

Таким образом, треугольники PAR и PBD являются подобными по двум углам - углу A и углу P.

Из теоремы о параллельных прямых и подобных треугольников (теорема 1) следует, что если два треугольника подобны, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Поэтому, AB/DP = AR/BD.

Теперь перепишем полученное уравнение: AB/BD = AR/DP

Также, мы знаем, что AB = a и BD = b (из условия задачи).

Подставляя данные значения в уравнение, получаем: a/b = AR/DP.

Таким образом, мы доказали, что a/b = AR/DP, что означает, что a параллельно b.