Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.
А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2)Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
3)Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.
Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
1) параллелограмм АВСД, диагональ АС соединяет острые углы, она же по условию и биссектриса, значит,
уг. ВАС = уг.ДАС
т.к. это параллелограмм, то стороны АД и ВС - параллельны, а значит,
уг. ДАС = уг ВСА , следовательно в треугольнике АВС углы ВАС = ВСА - т.е. он равнобедренный, т.е. АВ=ВС .
т.к. в параллелограмме противоположные стороны рваны, то
АВ = СД и ВС = АД, и значит, АВ=ВС=СД=АД - это ромб.
2) в трапеции АВСД, углы В и С - тупые, из них проведены биссектрисы ВН и СН и т.к. по условиям они пересекаются на другом основании, то Н - точка на стороне АД
т.к. ВН - биссектрисса, то уг. АВН = уг. СВН
т.к. АВСД - трапеция, то АД параллельно ВС, и значит, уг. СВН = ВНА
следовательно в треугольнике АВН углы ВНА = АВН - т.е. он равнобедренный, т.е. АВ=АН .
аналогично, получаем ,что треугольник СДН тоже равнобедренный и СД=ДН
т.к. АД = АН+ДН , то получаем искомое:
АД = АВ + СД