Question

В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Ребро DB пирамиды перпендикулярно плоскости основания. Найди площадь треугольника АВС, если АВ = 12, ребро DC, равное 10, образует с плоскостью (АВD) угол 30

Answer 1

Добрый день, ученик! Давай разберемся с этой задачей.

У нас есть пирамида DABC, где треугольник ABC - прямоугольный, причем прямой угол находится в точке C. Нам нужно найти площадь треугольника ABC, если известно, что AB = 12, DC = 10 и угол между ребром DC и плоскостью (ABD) равен 30 градусам.

Давай начнем с построения схемы задачи:

B
/|\
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
D------C----A

Первая важная информация в задаче - прямоугольный треугольник ABC. Это значит, что угол BAC равен 90 градусов.

Также нам известно, что ребро DB перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что угол DBA также равен 90 градусов. Из него следует, что треугольник ABD - прямоугольный.

Угол между ребром DC и плоскостью (ABD) равен 30 градусам. Значит, у нас есть второй прямоугольный треугольник DBC, где угол BDC равен 90 градусов, а угол CDB равен 30 градусов.

Теперь, давай решим задачу:

Мы знаем, что AB = 12 и треугольник ABC - прямоугольный. Это значит, что AC и BC - катеты прямоугольного треугольника ABC.

По теореме Пифагора мы можем найти длину гипотенузы AC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = 12^2 + BC^2

AC^2 = 144 + BC^2

Теперь давай посмотрим на треугольник DBC. У нас есть два угла - прямой угол BDC и угол CDB, равный 30 градусам.

Мы знаем, что угол BDC = 90 градусов и ребро DC = 10. Используя тригонометрию, можем найти BC:

BC = DC * sin(CDB)

BC = 10 * sin(30)

BC = 10 * 0.5

BC = 5

Теперь мы знаем, что AC = √(144 + BC^2) = √(144 + 5^2) = √(144 + 25) = √169 = 13.

Теперь мы знаем все стороны треугольника ABC - AB = 12, BC = 5 и AC = 13.

Мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

где p - полупериметр треугольника ABC.

p = (AB + BC + AC)/2 = (12 + 5 + 13)/2 = 30/2 = 15

S = √(15 * (15 - 12) * (15 - 5) * (15 - 13))

S = √(15 * 3 * 10 * 2)

S = √900

S = 30

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 30.

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для тебя. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!