Question

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, делит высоту на отрезки 2 и 6, начиная от вершины конуса. Найди объём конуса, если площадь сечения равна 56.

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, π - число пи (приблизительно равно 3,14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

В условии задачи дано, что площадь сечения конуса составляет 56, но не даны значения радиуса основания и высоты конуса.

Поскольку сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, делит высоту на отрезки 2 и 6, начиная от вершины конуса, можем сделать следующие выводы:

1) Проекция конуса на сечение является подобной фигурой и имеет ту же пропорцию сторон, что и сам конус.

Высоту сечения можем обозначить как h', а радиус основания сечения - r'. Тогда имеем следующие пропорции:

h' / 2 = h / (h + 6) (1) - по условию задачи
r' / r = h' / h (2) - из подобия фигур

2) Площадь сечения вычисляется по формуле площади основания:

S' = π * r'^2.

В условии задачи дано, что S' = 56.

Теперь мы можем использовать эти сведения для нахождения объема конуса.

Давайте начнем с поиска высоты конуса. Используем пропорцию (1):

h' / 2 = h / (h + 6).

Домножим обе части уравнения на (h + 6):

h' * (h + 6) = 2 * h.

Распределим множители:

h' * h + h' * 6 = 2 * h.

Перенесем все слагаемые к одной стороне:

h' * h - 2 * h = -6 * h'.

Факторизуем левую часть уравнения:

h * (h' - 2) = -6 * h'.

Так как высота конуса не может быть отрицательной (-6 * h'), то один из множителей равен 0:

h = 0 или h' - 2 = 0.

Отбросим решение h = 0, так как высота конуса должна быть положительной.

Теперь рассмотрим второе уравнение h' - 2 = 0:

h' = 2.

Таким образом, высота конуса равна 2.

Далее, используем пропорцию (2) для нахождения радиуса основания конуса:

r' / r = h' / h.

Подставим известные значения:

r' / r = 2 / 2.

r' = r.

То есть радиус основания сечения и радиус основания конуса равны друг другу.

Значит, площадь сечения совпадает с площадью основания конуса:

S' = S = π * r^2.

Из условия задачи дано, что S = 56.

Теперь мы можем найти радиус основания конуса:

56 = π * r^2.

r^2 = 56 / π.

r ≈ √(56 / π) ≈ 4.22 (округлим до 2 десятичных знаков).

Теперь у нас есть значения радиуса основания и высоты конуса, и мы можем вычислить его объем, используя формулу:

V = (1/3) * π * r^2 * h.

Выполним вычисления:

V = (1/3) * π * (4.22)^2 * 2 ≈ 37.28 (округлим до 2 десятичных знаков).

Таким образом, объем конуса равен примерно 37.28.