Рівнобедрені трикутники АВС і АВD (див.рисунок) зі спільною основою АВ=16 см лежать у різних площинах, кут між якими дорівнює 60°. Знайдіть відстань між вершинами трикутників, якщо АС=СВ=17 см, а АD перпендикулярне ВD.
Вот вам решение :) треугольники ABC и BCP подобны треугольнику со сторонами 8, 15, 17, причем в треугольнике BCP BC - гипотенуза, а в треугольнике ABC - меньший катет. Радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 8, 15, 17, равен (8 + 15 - 17)/2 = 3; то есть для треугольника BCP коэффициент подобия равен 96/3 = 32, откуда BC = 17*32 = 8*68. Я намеренно не "досчитываю", так как мне не нужны длины сторон, а нужен коэффициент подобия для треугольника ABC (и треугольника со сторонами 8, 15, 17), который "сам собой" и нашелся - он равен 68. Отсюда радиус окружности, вписанной в ABC, равен 68*3 = 204
Так как трапеция АВСД равнобедренная, то и диагонали у неё равны. Обозначим стороны её a, b c, d. У трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Если диагональ ВД передвинуть в точку С, то получим равнобедренный треугольник со сторонами 7, 7 и (2*5 = 10) м. Высота этого треугольника равна высоте трапеции и равна двум радиусам вписанной окружности. Отсюда r = (1/2)√(7² - (10/2)²) = (1/2)√(49 - 25) = (1/2)√24. Теперь рассмотрим треугольник АВО. По свойству трапеции, в которую вписана окружность, угол О - прямой. Радиус, проведенный в точку касания окружности боковой стороны, - это перпендикуляр к этой стороне, то есть высота треугольника из точки О. Точка касания делит боковую сторону на 2 отрезка, равные b / 2 и d / 2 На основании свойства высоты прямоугольного треугольника: r² = (b / 2)*(d / 2) = bd / 4 или bd = 4r² = 4*((1/2)√24) = 24. Теперь решим систему уравнений: bd = 24 b + d = 10. Используем подстановки: b = 24 / d . Тогда (24 / d) + d = 10.,Приводим к общему знаменателю и получаем квадратное уравнение: d²-10d+24=0.Заменим обозначенме стороны d на х для решения этого уравнения: Квадратное уравнение, решаем относительно X: Ищем дискриминант:D=(-10)^2-4*1*24=100-4*24=100-96=4; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: X_1=(√4-(-10))/(2*1)=(2-(-10))/2=(2+10)/2=12/2=6; X_2=(-√4-(-10))/(2*1)=(-2-(-10))/2=(-2+10)/2=8/2=4. Это и есть ответ: больший корень - это основание d = 6 см, а меньшее - 4 см.
Радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 8, 15, 17, равен (8 + 15 - 17)/2 = 3; то есть для треугольника BCP коэффициент подобия равен 96/3 = 32, откуда BC = 17*32 = 8*68. Я намеренно не "досчитываю", так как мне не нужны длины сторон, а нужен коэффициент подобия для треугольника ABC (и треугольника со сторонами 8, 15, 17), который "сам собой" и нашелся - он равен 68.
Отсюда радиус окружности, вписанной в ABC, равен 68*3 = 204