Скалярний добуток -33.
Знайти скалярний добуток векторів а і b, якщо а (-1; 15; 2) і b (3; -2; 5).
Скалярний добуток двох векторів a і b визначається за формулою:
a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃,
де a₁, a₂, a₃ - компоненти вектора a, а b₁, b₂, b₃ - компоненти вектора b.
У даному випадку:
a₁ = -1, a₂ = 15, a₃ = 2, b₁ = 3, b₂ = -2, b₃ = 5.
Підставляємо ці значення у формулу:
a · b = (-1) * 3 + 15 * (-2) + 2 * 5.
Обчислюємо:
a · b = -3 + (-30) + 10 = -33.
Отже, скалярний добуток векторів a і b дорівнює -33.
Спочатку ми можемо зобразити ці три лінії на графіку, щоб побачити, як вони взаємодіють:
Зауважимо, що точка перетину ліній y=√x та y=2-x може бути знайдена, вирішивши рівняння:
√x = 2-x
Перенесімо x на ліву сторону та піднесемо до квадрату:
x^2 + x - 4 = 0
Застосуємо формулу дискримінанту, щоб знайти корені цього квадратного рівняння:
D = b^2 - 4ac = 1 - 4(-4) = 17
x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √17) / 2
x1 ≈ -2.56, x2 ≈ 1.56
Таким чином, точки перетину ліній знаходяться на відстані близько 4.12 одна від одної.
Ми можемо розділити область на дві частини за до лінії x=x1 та знайти площу кожної частини окремо. За до інтегралу можна обчислити площу кожної частини:
S1 = ∫[0, x1] (2-x)dx = [2x - 0.5x^2]_0^x1 ≈ 4.75
S2 = ∫[x1, 2] (√x)dx = [2/3*x^(3/2)]_x1^2 ≈ 2.77
Отже, загальна площа фігури дорівнює S1 + S2 ≈ 7.52. Отже, площа фігури, обмеженої лініями y=√x, y=2-x, y=0, дорівнює близько 7.52 одиниць квадратних.