Достроим трапецию до равнобедренного треугольника.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса к основанию является высотой и медианой.
Окружность касается оснований в серединах.
BL=CL, AN=DN
Отрезки касательных из одной точки равны.
BK=BL=CL=CM =a
AK=AN=DN=DM =b
По теореме о пропорциональных отрезках KM||BC||AD
△KAP~△BAC, KP/BC=AK/AB => KP/2a =b/(a+b)
△PCM~△ACD, PM/AD=CM/CD => PM/2b =a/(a+b)
KP=PM =2ab/(a+b)
LN - высота => LN⊥KM
S(KLMN) =1/2 KM*LN *sin90 =2ab/(a+b) *LN
S(ABCD) =1/2 (AD+BC)*LN =(a+b) *LN
S(ABCD)/S(KLMN) =(a+b)^2/2ab =8/3 =>
(a^2 +b^2 +2ab)/2ab =8/3 =>
a/2b +b/2a +1 =8/3 =>
a/b +b/a =2(8/3 -1) =10/3
a/b =x
x +1/x =10/3 =>
x^2 -10/3 x +1 =0 => x = {1/3; 3}
ответ: основания относятся 1:3
Задание 1
По условию задачи QM=MP
Угол W и угол Р равны между собой
Из чертежа видно,что угол QMK равен углу FMP,как вертикальные ,поэтому треугольники равны между собой по второму признаку равенства треугольников-если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равна стороне и двум прилегающим к ней углам второго треугольника,то такие треугольники равны между собой
Второе задание
Боковые стороны в равнобедреном треугольнике равны между собой
(39-15):2=12 см
Боковые стороны равны по 12 см
Задание четвёртое
Биссектриса в равнобедреном треугольнике опущенная из вершины на основание одновременно является и медианой и высотой
Биссектриса поделила угол АВС на два равных угла- FBC и FBA и каждый равен по 19 градусов
Как уже было сказано,биссектриса в данном случае является и высотой,а высота опускается на основание перпендикулярно и образует углы по 90 градусов,поэтому угол AFB=90 градусов
А так как биссектриса тут выступает и как медиана,то она основание АС поделила на две равные части
АF=FK=23:2=11,5
Задание 5
Треугольники CDF и DFB равны между собой по первому признаку равенства треугольников-если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,то эти треугольники равны между собой
По условию CF=FB
DF перпендикуляр на основание и углы CFD и DFB равны между собой и каждый равен 90 градусов
А сторона DF общая
Из этого следует,что СВ=DB=6 см
АВ-DB=AD
10-6=4 cм
АD равна 4 сантиметра
Объяснение:
180-80=100, по теореме углов треугольника сумма углов 180 градусов