Question

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А(-3; 7), В (2; -4), C (5; 1) и D (0; 12) являет- ся параллелограммом.

Answer 1

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, нужно проверить выполнение двух условий: одна пара противоположных сторон параллельна идруга пара противоположных сторон равна.

1. Проверка параллельности сторон
Для этого мы должны сравнить коэффициенты наклона двух противоположных сторон. Если они равны, то стороны параллельны.

Коэффициент наклона m между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) можно найти по формуле:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Проверим параллельность сторон AB и CD:

коэффициент наклона стороны AB:
m1 = (-4 - 7) / (2 - (-3)) = -11 / 5.

коэффициент наклона стороны CD:
m2 = (12 - 1) / (0 - 5) = 11 / 5.

Коэффициенты наклона сторон AB и CD равны, поэтому стороны AB и CD параллельны.

Теперь проверим параллельность сторон BC и AD:

коэффициент наклона стороны BC:
m3 = (1 - (-4)) / (5 - 2) = 5 / 3.

коэффициент наклона стороны AD:
m4 = (12 - 7) / (0 - (-3)) = 5 / 3.

Коэффициенты наклона сторон BC и AD также равны, поэтому стороны BC и AD параллельны.

Таким образом, выполняется первое условие и две пары противоположных сторон параллельны.

2. Проверка равенства сторон
Теперь докажем, что противоположные стороны AB и CD равны, а также что противоположные стороны BC и AD равны.

Длина стороны между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) можно найти по формуле:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Проверим равенство сторон AB и CD:

длина стороны AB:
d1 = sqrt((2 - (-3))^2 + (-4 - 7)^2) = sqrt(25 + 121) = sqrt(146).

длина стороны CD:
d2 = sqrt((0 - 5)^2 + (12 - 1)^2) = sqrt(25 + 121) = sqrt(146).

Длины сторон AB и CD равны.

Теперь проверим равенство сторон BC и AD:

длина стороны BC:
d3 = sqrt((5 - 2)^2 + (1 - (-4))^2) = sqrt(9 + 25) = sqrt(34).

длина стороны AD:
d4 = sqrt((0 - (-3))^2 + (12 - 7)^2) = sqrt(9 + 25) = sqrt(34).

Длины сторон BC и AD также равны.

Таким образом, выполняется второе условие, и противоположные стороны параллелограмма ABCD равны.

Итак, мы доказали, что стороны AB и CD параллельны и равны, а также что стороны BC и AD параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.