Сделаем схематический рисунок осевого сечения данной фигуры.
Получим равнобедренный треугольник с вписанным в него квадратом.
Примем сторону квадрата (высоту и диаметр цилиндра) равной х.
Тогда верхний диаметр цилиндра КМ=х будет основанием равнобедренного треугольника КВМ. Оно параллельно диаметру конуса.
Диаметр конуса =2•4=8
Высота ∆ КВМ=10
Треугольники АВС и КВМ подобны по равным углам при основаниях и общему углу В.
Из подобия следует отношение:
АС:КМ=ВН:ВЕ
8:х=10:(10-х)
18х=80
х=40/9
V=πr²•h
Радиус цилиндра r= x:2=20/9
Высота цилиндра h=40/9
V=(π•400•40):81•9= ≈ 65,36 (ед. объема)
Окружность вторично пересекает AD в точке E.
AB - касательная. По теореме о касательной и секущей:
AB^2=AD*AE => 25*3=15*AE => AE=5
AB/AD =1/√3 =AE/AB
△EAB~△BAD (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)
=> ∠ABE=∠ADB
∠ADB=∠CBD (накрест лежащие при BC||AD) => ∠ABE=∠CBD
EBCD - вписанная трапеция => равнобедренная, BE=CD=x
Внешний угол вписанного четырехугольника равен противолежащему внутреннему.
∠BEA=∠BCD
△BEA~△BCD (по двум углам) => BE/BC=AE/CD => x/5=5/x => x=5
BC=BE=5 => BD=AB=5√3
ED=AD-AE =15-5 =10
Для треугольника EBD выполняется теорема Пифагора:
10^2 =5^2 +(5√3)^2 => треугольник прямоугольный
∠EBD=90° => ED - диаметр, радиус=ED/2=5
В треугольнике EBD высота из прямого угла:
h =BE*BD/ED =5*5√3/10 =5√3/2
S(ABCD) =1/2 (BC+AD) h =1/2 (5+15) 5√3/2 =50√3/2