трапеция АБСД, ВС и АД - основания АБ перпендикулярна ВС и АД
точки касания окружности на АБ - К, на БС - Н, на СД-М и на ДА - Л
центр окружности О. ОС = 15, ОД = 20
угол С+уголД = 180 т.к. ВС и АД параллельны
из Д две касательные АД и ДС значит ОД - биссектриса угла Д, аналогично ОС биссектриса угла С
получаем что в треугольнике ОСД угол ОСД+угол ОДС = 90 следовательно угол СОД = 180-90=90 значит треугольник ОСД - прямоугольный. найдем по теореме Пифагора СД = корень(ОС*ОС+ОД*ОД) = 25
треугольник СМО и СОД подобны (по равенству двух углов угол ОСМ - общий, угол СОД = 90 угол ОМС = 90 (угол между радиусом и касательной)) ОМ/ОС = ОД/СД отсюда ОМ = ОД*ОС/СД = 15*20/25 = 12 это наш радиус
АБ = 2r, БН=БК =r (как две касательные из одной точки) также НС=МС, МД=ЛД, АЛ=АК = r
найдем половину периметра = (4r+2*СД)/2 = 2r+СД = 24+25 = 49
радиус вписанной окружности по формуле равен r=s/p где S -площадь многоугольника p- полупериметр отсюда S=p*r = 49*12 = 588
4см;7см; √37см
Решение:
Пусть одна сторона будет 4х, а другая 7х.
S=½*a*b*sin∠(ab); а=4х; b=7x;
sin60°=√3/2
Уравнение:
½*4х*7х*√3/2=7√3
28x²√3=4*7√3
28x²=28
x=1
4x=4*1=4см одна сторона треугольника
7х=7*1=7см вторая сторона треугольника.
Теорема косинусов
с=√(а²+b²-2ab*cos∠(ab))=
=√(4²+7²-2*4*7*1/2)=√(16+49-28)=
=√37см третья сторона треугольника