Найдите угла треугольника ABC, если угол A : угол B : угол C= 13:4:1. а) Определите вид треугольника ABC. b) Укажите самую длинную сторону треугольника, обоснуйте свой ответ.
AC находится по теореме Пифагора и равна √136 1 рисунок.
На 2 рисунке. На луче AA1 отложим отрезок A1K, A1K=AA1. Соединим точку K с точками C и B. Рассмотрим четырехугольник ACKB. CA1=BA1 (так как AA1 — медиана треугольника ABC); AA1=KA1 (по построению).Так как диагонали четырехугольника ABDC в точке пересечения делятся пополам, то ACKB — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограма AK²+BC² = 2*(AC²+AB²) AK²+(√136)²=2*((√136)²+20²) AK²=2*(136+400)-136 AK²=936 AK = 6√26 AA1 = AK/2 = (6√26)/2=3√26 AA1=BB1 = 3√26
2. 4+7=11 (частей) Одна часть: 44/11 = 2 Большее основание равно: 2*4=8 см Меньшее основание равно: 2*7=14 см
3. Диагонали делят острые углы трапеции пополам => получаем ромб, у которого все стороны равны 8 см. Р=8+8+8+10=34 см
4. Имеем трапецию ABCD. Основания - AD, BC. Диагонали пересекаются в точке P. MN - средняя линия, пересекаемая сторону BD в точке О и AC в точке K. В треугольнике ABC средняя линия MK равна 1/2*BC, а средняя линия KN в треугольнике ACD = 1/2*AD. Треугольник BCP одновременно прямоугольный и равнобедренный, соответственно высота, опущенная из точки P к вершине, является медианой. Она равна 1/2*BC. В треугольнике APD, высота, опущенная из точки P, - медиана. Равна 1/2*AD. Что и требовалось доказать.
1 рисунок.
На 2 рисунке. На луче AA1 отложим отрезок A1K, A1K=AA1. Соединим точку K с точками C и B.
Рассмотрим четырехугольник ACKB. CA1=BA1 (так как AA1 — медиана треугольника ABC); AA1=KA1 (по построению).Так как диагонали четырехугольника ABDC в точке пересечения делятся пополам, то ACKB — параллелограмм.
По свойству диагоналей параллелограма
AK²+BC² = 2*(AC²+AB²)
AK²+(√136)²=2*((√136)²+20²)
AK²=2*(136+400)-136
AK²=936
AK = 6√26
AA1 = AK/2 = (6√26)/2=3√26
AA1=BB1 = 3√26