Question

Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1: 3; -1), В(3; -1; 1), C(3; 1; -1). Hайдите: a) высоту, проведенную к наибольшей стороне;
б) углы треугольника;
в) площадь треугольника.

Answer 1

Добрый день! Давайте решим задачу шаг за шагом.

a) Начнем с поиска высоты, проведенной к наибольшей стороне треугольника. Для этого нам нужно найти длины сторон треугольника. Для нахождения длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве.

1. Найдем длину стороны AB:
AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
= √[(3 - 1)^2 + (-1 - 3)^2 + (1 - (-1))^2]
= √[2^2 + (-4)^2 + 2^2]
= √[4 + 16 + 4]
= √24
= 2√6

2. Найдем длину стороны AC:
AC = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
= √[(3 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (-1 - (-1))^2]
= √[2^2 + (-2)^2 + 0^2]
= √[4 + 4 + 0]
= √8
= 2√2

3. Найдем длину стороны BC:
BC = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
= √[(3 - 3)^2 + (1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2]
= √[0^2 + (1 + 1)^2 + (-1 - (-1))^2]
= √[0 + 4 + 0]
= √4
= 2

Теперь у нас есть длины сторон треугольника AB, AC и BC. Найдем наибольшую сторону - сторону AB.

Наибольшая сторона - AB = 2√6.

Теперь найдем площадь треугольника, используя формулу Герона:

S = √[p(p - AB)(p - AC)(p - BC)],

где p - полупериметр треугольника, равный сумме длин его сторон, деленной на 2:

p = (AB + AC + BC) / 2
= (2√6 + 2√2 + 2) / 2
= (√6 + √2 + 1).

S = √[(√6 + √2 + 1)(√6 + √2 + 1 - 2√6)(√6 + √2 + 1 - 2√2)(√6 + √2 + 1 - 2)]
= √[(√6 + √2 + 1)(1 - √6)(1 - √2)(-1 + √6 + √2)].

Теперь перейдем к нахождению углов треугольника. Воспользуемся формулой косинуса:

cos(angle) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab),

где a, b и c - длины сторон треугольника.

Найдем угол между сторонами AB и AC. Пусть это будет угол A.

cos(A) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)
= (2√6^2 + 2√2^2 - 2^2) / (2 * 2√6 * 2√2)
= (24 + 8 - 4) / (4√6 * 2√2)
= 28 / (8√6√2)
= 7 / (2√12)
= 7 / (4√3)
= (7√3) / 12.

Аналогично, найдем угол между сторонами AB и BC. Пусть это будет угол B.

cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)
= (2√6^2 + 2^2 - 2√2^2) / (2 * 2√6 * 2)
= (24 + 4 - 8) / (4√6 * 4)
= 20 / (16√6)
= 5 / (4√6)
= (5√6) / 24.

Также найдем угол между сторонами AC и BC. Пусть это будет угол C.

cos(C) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC)
= (2√2^2 + 2^2 - 2√6^2) / (2 * 2√2 * 2)
= (8 + 4 - 24) / (4√2 * 4)
= -12 / (16√2)
= -(3√2) / 8.

После нахождения косинусов углов, мы можем найти их значения в градусах, применяя обратные функции косинуса (arccos):

A = arccos((7√3) / 12)
B = arccos((5√6) / 24)
C = arccos(-(3√2) / 8).

В итоге, мы получили детальное решение задачи. Если у тебя возникнут вопросы по какому-либо шагу, не стесняйся задавать!