Question

Докажите что прямоугольник ABCD и треугольник AKD изображённые на рисунке равновеликие и равноставленные если MP средняя линия !!

Answer 1

Равновеликие фигуры – это фигуры с равной площадью.

Допустим AD=BC=a и AB=CD=b.

Площадь прямоугольника ABCD:

S=ab

MP – средняя линия, а она параллельна основания, что является прямой. Значит ΔADK – равнобедренный с равными боковыми сторонами AK=DK и основанием AD.

Средняя линия равна половине параллельного основания, значит MP=a/2

И BM=CP

BM+CP=a/2 (a/2, потому что если отнять BC-MP=a-a/2=a/2)

BM=CP=a/4

Средняя линия делит боковые стороны пополам, поэтому AM=MK и DP=PK. Так как у нас равнобедренный треугольник AM=MK=DP=PK.

Угол C – прямой. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

PD²=CP²+CD² (CP=a/4, CD=b)

${PD}^{2} = { (\frac{a}{4}) }^{2} + {b}^{2} \\ {PD}^{2} = \frac{ {a}^{2} }{16} + {b}^{2} \\ {PD}^{2} = \frac{ {a}^{2} + 16 {b}^{2} }{16} \\ PD = \sqrt{ \frac{ {a}^{2} + 16 {b}^{2} }{16} } \\ PD = \frac{ \sqrt{ {a}^{2} + 16 {b}^{2} } }{4}$

$PD=PK=KM=AM = \frac{ \sqrt{ {a}^{2} + 16 {b}^{2} } }{4}$

Значит боковая сторона равна

$KD = AK = \frac{ \sqrt{ {a}^{2} + 16 {b}^{2} } }{4} \times 2 = \frac{ \sqrt{ {a}^{2} + 16 {b}^{2} } }{2}$

Опустим высоту KH. Высота равнобедренного треугольник является медианой тоже, поэтому AH=DH=a/2

По теореме Пифагора

KD²=DH²+KH²

KH²=KD²-DH²

${KH}^{2} = ( \frac{ \sqrt{ {a}^{2} + 16 {b}^{2} }}{2})^{2} - {( \frac{a}{2} )}^{2} \\ {KH}^{2} = \frac{ {a}^{2} + 16 {b}^{2} }{4} - \frac{ {a}^{2} }{4} \\ {KH}^{2} = \frac{16 {b}^{2} }{4} \\ {KH}^{2} = 4 {b}^{2} \\ KH = \sqrt{4 {b}^{2} } \\ KH = 2b$

Формула площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} ah$

У нас a – сторона (у нас это AD), h – высота к этой стороне (в нашем случае KH)

$S = \frac{1}{2} \times a \times 2b \\ S = ab$

Площадь прямоугольника тоже был ab

Значит ab=ab, следовательно они равновеликие.

Answer 2

Объяснение:

Площадь треугольника S=ah/2, ⇒ S=AD*KH/2;

площадь прямоугольника S=a*b, ⇒ S=AD*AB;

МР - средняя линия ⇒ КН1=НН1=АВ=КН/2 ⇒ Sabcd=AD*KH/2=Sakd.